辯證觀點在數學教學中的應用

在教學實踐中，我認為辯證觀點應注意從三方面進行應用:一是教師要闡明教材本身的辯證因素;二是要培養學生辯證思維方法;三是教師要懂得教學領域中的辯證關系。三者是互相聯系、互相滲透的。

一、發掘教材中的辯證因素

加強辯證觀點在數學教學中的應用，必須挖掘教材中的辯證因素。在教學中，教師應要求學生在獲取知識的同時領會以下四個基本觀點。

1.矛盾的觀點

在數學領域中充滿著矛盾。例如在數的概念之中，整數與分數;正數與負數;有理數與無理數;實數與虛數。它們都是矛盾的雙方，各自都是以它的對立面的存在而存在著的，即沒有負數也就沒有正數，沒有虛數也就沒有實數，等等。又如在數學運算中，也存在矛盾的雙方:有加法就有它的逆運算減法;有乘法就有它的逆運算除法;有乘方就有它的逆運算開方。諸如多項式的乘法與因式分解;等式與不等式;有限與無限;連續與間斷等都是矛盾著的雙方。

2.運動的觀點

例如一元二次方程，對于變量來說由于常量的變化，方程就有不同的解，就是說這些常量是相對的，而運動變化是絕對的。諸如，圓的割線到切線、圓周角到弦切角、棱臺到棱錐、圓臺到圓錐、點的軌跡、函數關系、系數方程的討論、實系數二次三項式的討論、直線系方程、圓系方程、圓錐曲線系方程、參數方程等都可以培養學生運動的觀點。

3.發展的觀點

數學是不斷發展的。如從整數到分數;從正數到負數;從實數到虛數，在教學中教師就要講清它們的產生和發展。所以在教學中講整數要與小學中自然數對比;講在復數范圍內因式分解，解方程要與實數范圍內因式分解，解方程對比;講任意三角函數時要與銳角三角函數對比，等等，讓學生領會數在不斷地發展，角也在發展，因而處理問題的方法也不一樣，這樣容易防止產生痕跡性的錯誤。

4.轉化的觀點

在一定條件下，運用轉化的觀點處理問題的地方是很多的。例如:解方程中的消元、降次;分式方程整式化;根式方程有理化;在函數中，函數與反函數之間的轉化;在三角中，三類八式之間、正余弦定理之間可以互相轉化;在幾何中，將高維問題轉化為低維問題來做;應用題中，把實際問題轉化為數學模型;把三角問題轉化為代數問題來解，把幾何問題轉化為代數或三角問題來解，把代數問題轉化為三角或幾何問題來解，等等。以上這些轉化基本上屬于量與量之間的形式上的轉化。還有由量變到質變的轉化，例如，在直線與二次曲線的位置關系上，用方程組變形后的二次方程的判別式“△”的值來判別它們的位置關系分別是相交、相切、相離，這就是由“△”數量的變化，導致直線與曲線位置上產生質的變化。同樣，隨著圓錐曲線的離心率“e”的變化，導致圓錐曲線可以為雙曲線、拋物線、橢圓。

二、教會學生一些辯證思維的方法

1.廣泛聯想法

數學知識之間是互相聯系的。在教學中，教師應該培養學生善于從一個數學問題想到另一個數學問題。聯想是一種辯證思維形式，它是探索、發現、創造的前提，所以應教會學生各種聯想。如定向聯想:在解數學題時，能按照題意的要求，充分注意命題的結構，注意條件和結論的特點，注意圖形的性質，根據命題的不同求解方向，有的可以聯想有關的定義和法則;有的可以聯想已經證明過的命題;有的可以聯想常用的解題方法和某些解題的技能技巧;對綜合題可以從幾方面結合起來聯想。對于一般的命題，通過這樣的聯想常常能順利地發現解題思路或方法，如雙向聯想、類比聯想、對比聯想、關系聯想等。

2.退中求進法

退一步進兩步，“退中求進”的思想方法，也是解決數學問題的一種重要的辯證的思維方法。此法是從“退”中尋找解題途徑，在“退”中探求未知的結論，退到我們足以看清楚問題的地方然后再上去。例如從“結論”向條件后退、從“一般”特殊后退、從“抽象”向具體后退、從“綜合”向單一后退、從“任意個”向有限個后退、從“髙維”向低維后退等。就是說在解題中，因為有些數學命題抽象程度較高，一時難以進行恰當的聯想。在這種情形下，我們可以先考慮命題的某些特殊情形，在特殊情形下獲得解答時，往往對一般情形的解法有所啟發，甚至所得結論對一般情形也是適用的，這種從問題的特殊情形去認識問題的普遍性，進而發現解題思路的方法是學生應該掌握的。

其他的辯證思維方法如運動變換的方法、分析與綜合統一法、抽象與具體統一法、演繹與歸納統一法、有限與無限統一法、精確與近似統一法等。

三、處理好教學領域中的辯證關系

1.教材與教法的關系

教材不等于教師的教法，所以教師不能“照本宣科”。教師要根據教材內容和學生的實際來具體設計，充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用。發揮教師的主導作用，就是要組織好教材內容;要設計問題的情境;要根據教材內容安排好學生學習發現的過程;要按教材內容精心設問讓學生討論;要抓住關鍵時刻，促使學生的思維產生飛躍。發揮學生的主體作用，就是要做到能看懂的內容，讓學生自己看;能自己思考解決的問題，讓學生自己去思考解決;能講得出的問題，讓學生自己去講;通過討論能解決的疑難，讓學生自己討論搞清楚;能獨立完成的練習，讓學生自己去做。只有這樣，才有利于學生較好地把課本知識轉化為自己的知識，才有利于把知識轉化為能力。

2.講和練的關系

數學除了講概念、定理、法則、公式、性質以外，還配以大量的例題和習題，所以講解必須配合以練習。教師講解時要突出重點，抓住關鍵，前后聯系，形成結構。練習也必須突出重點抓住關鍵，前后聯系，形成結構。講和練要互相適應，否則就達不到轉化的目的。練習也必須配合評講，且要及時進行，否則轉化率也不高。

辯證觀點的應用，要貫穿于整個教學過程之中，一定要結合教材本身有意識地、有目的地進行，才能達到預期的效果。