唯物辯證法在概率統計中的運用

摘 要: 數學本身是一種思辨方法，在數學中充滿了辯證法，注重唯物辯證法在概率統計中的應用，對于提高數學素養是一種極其有效的方法。

關鍵詞: 唯物辯證法 概率統計 運用

一、解題中的唯物辯證法

數學的本質即哲學思辯方法，其中充滿了唯物辯證法。如矛盾論、對立統一、用聯系和發展的觀點看問題。哲學講沒有絕對的靜止，再美的花看多了，也會厭倦。因而教師在教學中時刻要變化，變化表達方式、教態、教學方式。有時要故意出錯，讓學生在糾錯中學到知識。某些觀點，從正面闡述，聽得多了，會產生抗體，那就從反面強調。所謂“奇則正之，正則奇之”。

例1:(2010年重慶文科數學高考題)加工某零件需三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為、、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為 。

解析:法一:直接法。p=++-·-·-·+··=。

法二:從反面考慮，從對立事件角度考慮p=1-··=。

同樣的知識點背景，完全相反的解題思路，考查學生的不同思維能力。

例2[1]:(獨立與不相關的等價條件)假設隨機向量(X，Y)的聯合密度為f(x，y)=[φ(x，y)+φ(x，y)]，其中φ(x，y)，φ(x，y)均為二維正態分布密度:

φ(x，y)=exp-x-xy+y，

φ(x，y)=exp-x+xy+y。

(1)求邊緣概率密度f(x)和f(y);(2)求相關系數ρ;(3)問X和Y是否獨立?為什么?

解析:由φ(x，y)，φ(x，y)，有:E=0，D=1，ρ=，ρ=-。

(1)f(x)=?蘩f(x，y)dy=[φ(x)+φ(x)]=φ(x)，同理可得f(y)=φ(y)。

(2)E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1。因而:ρ=E(XY)=?蘩?蘩xyf(x，y)dxdy=0。

(3)R.V.X和Y不獨立，所以，f(x，y)=[φ(x，y)+φ(x，y)]≠f(x)f(y)。

小結:若R.V.X和Y都服從正態分布，則:(1)聯合分布不一定是正態分布;(2)兩者不相關，不一定相互獨立;(3)若聯合分布是二維正態分布，則:“不相關”和“相互獨立”等價。

數學家波利亞在《怎樣解題》中指出:“數學解題就是命題的連續變換，而命題的連續變換就是數學思想方法反復運用的過程，解題的最終目標是把題目歸結為已經解過的題。”

例3[1]:(均勻分布)向區域G={(x，y)||x|+|y|≤2}上均勻地擲一隨機點(X，Y)，求(X，Y)，以及X和Y的概率密度f(x，y)，f(x)和f(y)。

解析:易得f(x)=(-2≤x≤0)(0≤x≤2)0(|x|>2)，f(y)=(-2≤y≤0)(0≤y≤2)0(|y|>2)。

實踐是檢驗真理的唯一標準。如將概率統計與社會生產、生活實際相結合，二項分布B(n，p)與藥物的有效性等問題結合，將正態分布與考試成績、可靠性理論等問題結合;將指數分布與元件壽命問題結合，在實際問題的解決過程中體會和了解概率論的思想方法[2]。

例4:(2010年安徽文科數學高考題)某市2010年4月1日—4月30日對空氣污染指數的監測數據如下(主要污染物為可吸入顆粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45。

(1)完成頻率分布表;(2)作出頻率分布直方圖;(3)根據國家標準，污染指數在0—50，空氣質量為優;在51—100，為良;在101—150，為輕微污染;在151—200，為輕度污染。請依據所給數據和標準，對該市的空氣質量給出一個簡短評價。

二、理論中的唯物辯證法

任何定理都有其條件和結論，定理的表達形式主要有三種:圖形、文字、符號。其體現了代數與幾何的完美結合。

例如:事件的和A+B與集合的并A∪B(可類比物理中的并聯電路)，事件的積A·B與集合的交運算A∩B(可類比物理中的串聯電路)，同時，其又均可用文氏圖表示，而計算概率時可用面積理解。對立事件和互斥事件同樣可以類比理解。

將概念或定理中的條件或結論作適當的推廣，可以得到許多有趣的結論，同時也會弄清其中的內在聯系，形成知識體系。概率論與實變函數論、測度論有許多相似之處，如:基本事件空間Ω—論域，基本事件ω—論域中的點，事件A的概率P(A)—A的測度，等等。

具有同一屬性的不同類型的事物，其實在本質上還是具有共同點的。如，離散型R.V.的一套理論，可以應用到連續型R.V.，如U[a，b]，N(μ，б2)，指數分布。相關的概念如概率密度、參數、期望、方差在整體思路上亦具有統一性。

抓住了共通點，我們可以進一步地類比學習，弄清一類問題。如從概率的定義出發，我們可以推出概率的許多相關性質。由三個基本公式:乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式，可以掌握事件概率的計算方法。由兩個變量的情形，可以類似地得到多個變量的情形;由聯合概率分布，可得邊緣分布，等等。

在高考、大學、考研的概率與數理統計題型中，均體現了唯物論認識事物的規律，如矛盾論、對立統一、理論聯系實際等。總之，教學有法，但教無定法，哲學中強調具體情況具體分析。在教學中，教師要結合實際的內容，選擇合適的教學方法，在傳授知識的同時，引導學生積極發現、探索、研究，培養思維的深刻性、廣泛性、靈活性、敏捷性、獨特性、批判性、創造性。學生掌握數學思想方法，掌握做研究的方法，掌握學習數學的工具，在數學知識的海洋中遨游，定能暢通無阻。

參考文獻:

[1]周概容.概率論與數理統計大講堂[M].大連:大連理工大學出版社，2004.

[2]魏宗舒等.概率論與數理統計教程[M].北京:高等教育出版社，2002.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文