注重合情推理教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生探索能力

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。而在教學(xué)中培養(yǎng)探索能力的一個(gè)有效途徑是讓學(xué)生掌握合情推理的能力。合情推理是指運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、推廣、限定、猜想等一套自然科學(xué)常用的探索式的方式進(jìn)行推理。合情推理為學(xué)生的創(chuàng)造性思維的發(fā)揮提供了機(jī)會(huì)，從一定意義上來說，學(xué)生從事合情推理活動(dòng)時(shí)，可以說是在從事類似科學(xué)家們的探究發(fā)現(xiàn)活動(dòng)。本文簡(jiǎn)述了數(shù)學(xué)合情推理的作用，并就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理談點(diǎn)淺見。

一、 注意營(yíng)造一個(gè)寬松、良好的可供學(xué)生猜想的空間

數(shù)學(xué)猜想就是“似真推理”，而“證明”只能是證明真理，卻不能發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)真理靠的是猜測(cè)。數(shù)學(xué)家高斯說過:“沒有大膽而放肆的猜想， 就談不上科學(xué)的發(fā)現(xiàn)。”

例1已知:f(x)對(duì)定義域中的一切x1、x2滿足:f(x1-x2)=，且f(a)=1(a為正常數(shù))，求證:f(x)為周期函數(shù)。

觀察題設(shè)，直覺判斷與tan(?琢-?茁)=的結(jié)構(gòu)類似。

由于tan=1，且?仔為y=tanx的一個(gè)周期，猜想出f(x)的一個(gè)周期可能為4a，即猜想需要證:f(x-4a)=f(x)。

這由條件容易推得: f(x-a)==，

f(x-2a)=f[(x-a)-a]====-，

f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-=f(x)， ∴f(x)的周期為4a。

當(dāng)然猜想形式的結(jié)論也許有錯(cuò)誤。因此在教學(xué)中要適時(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行激勵(lì)，以強(qiáng)化學(xué)生的探索猜想的熱情，讓學(xué)生在猜想過程中培養(yǎng)探索方法和能力，享受到成功的喜悅，或者是領(lǐng)略到挫折的體驗(yàn)。

二、 經(jīng)常地引導(dǎo)學(xué)生尋找可以類比的合適對(duì)象

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)完整嚴(yán)密的科學(xué)體系，因此許多數(shù)學(xué)結(jié)論、方法都具有相關(guān)性和相似性。在課堂教學(xué)中充分利用這些相關(guān)性聯(lián)系及相似性，采用類比的方法，可以讓學(xué)生自行研究發(fā)現(xiàn)許多新的結(jié)論和方法。

例如，高二上冊(cè)的“簡(jiǎn)單的高次不等式”的解法，引導(dǎo)學(xué)生類比高一的“一元二次不等式”的“圖像解法”得出“標(biāo)根法”。又如，在學(xué)習(xí)了橢圓相關(guān)內(nèi)容后，引導(dǎo)學(xué)生將圓的許多美妙的性質(zhì)，類比聯(lián)想到橢圓。再如，在學(xué)習(xí)“二元均值不等式”:?叟(a，b?綴R+)時(shí)，類比推廣“三元均值不等式”:?叟(a，b，c?綴R+) 進(jìn)一步類比推廣到n元均值不等式?叟(ai，?綴R+，i=1，2，…n)等。

例 2已知球的體積關(guān)于半徑的函數(shù)V(r)=?仔r3，它的導(dǎo)數(shù)V'(x)=4?仔r2恰好是球的表面積，利用類比思想，可以類推出的一個(gè)公式是______。

從題目的結(jié)論不難得到:圓的面積關(guān)于半徑的函數(shù)S(r)=?仔r2，它的導(dǎo)數(shù)S'(r)=2?仔r恰好是圓周長(zhǎng)，重要的是體驗(yàn)了“低維”與“高維”的類比，通過類比，達(dá)到了“舊知”與“新知”的遷移。

三、 鼓勵(lì)學(xué)生親自觀察和思考，提供直覺思維的機(jī)會(huì)

觀察作為人的一種有目的、有計(jì)劃的高級(jí)知覺形式，總是伴隨著比較、分析、抽象和概括等思維活動(dòng)。觀察力的最可貴之處是從平常的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不尋常的東西，從表面上貌似無關(guān)的東西中發(fā)現(xiàn)相似點(diǎn)或因果關(guān)系。觀察力是直覺思維的起步器。而數(shù)學(xué)直覺，簡(jiǎn)單地說是指人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接領(lǐng)悟和洞察。

例4如圖1，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°。

(1) 證明:CC1⊥BD。

(2) 假定CD=2，CC1=，記面為C1BD=?琢，面CBD為 ?茁，求二面角?琢-BD-?茁的平面角的余弦值。

(3)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD，請(qǐng)給出證明。

該題如果從一開始考慮一步步的邏輯推證，是有難度的，也是十分麻煩的。若在弄清題意后，整體地直覺地感受它，運(yùn)用直覺思維，則可比較快的解決。

(1)由條件，憑直覺立即知道，該平行六面體是個(gè)對(duì)稱的幾何體，對(duì)稱平面是CC1和AA1所決定的平面。于是連結(jié)C1A1和CA就十分自然了(如圖2)。并且B、D是關(guān)于平面A1C的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)然有BD⊥平面A1C1，立即可知BD⊥C1C 。

(2)由對(duì)稱性知要求二面角?琢-BD- ?茁的平面角的余弦值，即要求COS∠C1OC，憑直覺即知三棱錐C-C1BD的形狀大小已定，故∠C1OC已定，條件是充分的，仍由直覺，知C1O、CO分別是等腰△C1BD和等腰△CBD的高，這兩個(gè)三角形的三邊知道(已知或可求)，在△C1CO中三邊也知道，即COS∠C1OC可求。

(3)在前面兩小題直覺思維的基礎(chǔ)上，容易直覺得到，由于六面體ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，要使得A1C⊥平面C1BD，該有CC1=CB=DB，因此三棱錐應(yīng)為正三棱錐。再由直覺，想到此時(shí)平行六面體的各面是全等菱形，于是C1B1、C1D和DB就相對(duì)于A1C的位置而言，地位是等同的，當(dāng)然有A1C⊥C1BD平面。

上述簡(jiǎn)約的邏輯思維過程，使解題獲得了突破性進(jìn)展。因此，充分運(yùn)用直覺思維，從整體上感受和把握問題，當(dāng)直覺判斷認(rèn)為有把握時(shí)，再加以“細(xì)化”，即能循規(guī)蹈矩地按規(guī)范化的要求書寫出解題過程。

四、 “從最簡(jiǎn)單的開始”，為歸納、猜想提供一個(gè)適當(dāng)?shù)某霭l(fā)點(diǎn)和立足點(diǎn)

要培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，就要叫學(xué)生掌握“從最簡(jiǎn)單的開始”。即當(dāng)問題的一般情形不易解決時(shí)，先考慮其特殊情形，解決后，再向一般形推廣。

例4一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根n次方的和為Sn。求證:sn=-(n=3，4，5…)。

證明:設(shè)方程兩根為x1，x2，則

x1+x2=-，x1x2=，s1=x1+x2，s2=x+x，

s3=x+x=(x+x)(x1+x2)-x1x2( x1+x2)=s2(-)-s1=-。

由s3的啟示，我們找到了解題的途徑，即可沿著這條途徑由“退”轉(zhuǎn)為“進(jìn)”到sn=(x1n-1+x2n-1)(x1+x2)-x1x2(x1n-2+x2n-2)=sn-1(--sn-2=-。

總之，合情推理是科學(xué)的探究方法，也是一種有效的探究式教學(xué)方法;合情推理和演繹推理，二者相輔相成，在實(shí)踐中二者總是交織在一起，是不可分割的。在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、類比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)來學(xué)會(huì)、經(jīng)歷、感受、體驗(yàn)、探索數(shù)學(xué)，充分地讓學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造” 的過程，對(duì)訓(xùn)練思維、培養(yǎng)探索能力無疑是十分有益的。

(蘭溪市第六中學(xué))