多維條件下的單峰定理研究

摘要:對著名經濟學家鄧肯#8226;布萊克的單峰定理進行深入研究，一維條件下，個體為單峰偏好可以解決“投票悖論”。將單峰偏好分析從一維條件擴展到二維條件直至N維條件，探討N維條件下單峰定理是否適用。

關鍵詞:社會選擇;單峰偏好;投票悖論

中圖分類號:F0文獻標志碼:A文章編號:1673-291X(2010)31-0012-02

單峰定理是英國經濟學家鄧肯#8226;布萊克(Duncan Black)于1958年在其書《委員會與選舉理論》中提出的，旨在解決法國數學家孔多塞提出的“投票悖論”的命題;同時，學者們也運用它解決社會選擇理論的另一難題:“阿羅不可能定理”[1]。①運用單峰定理解決“投票悖論”是以放松無限制定義域條件即將偏好限制為單峰偏好為方法的，這為解決該難題開辟了一條新路。但是，單峰定理僅描述了一維條件下的情況，并沒有涉及其他較復雜的情形。我們通過運用圖形分析對二維條件下、多維條件下單峰定理是否成立進行了研究。

一、一維條件下的單峰偏好

“投票悖論”指當備選方案 ②數量大于2，個體③數量大于2時，按照相對大多數原則④進行選擇，會出現循環，無勝者(如例1)。

例1，假定個體數量為三個，分別為甲、乙、丙;備選方案數量為三個，依次分別為極左派政黨、中間派政黨、極右派政黨。甲的偏好順序為:極左派 >中間派 >極右派;乙的偏好順序為:中間派 >極右派 >極左派;丙的偏好順序為:極右派>極左派 >中間派。其中“>”表示優于。在此例中，根據相對大多數原則，兩兩比較，最終群的偏好為極左派 >中間派>極右派>極左派。出現了循環，無勝者。這意味著社會或群偏好不總是可傳遞的。⑤

單峰定理是如果個體偏好是單峰的，并且個體的數量為奇數，那么根據相對大多數原則進行選擇，社會或群的偏好滿足可傳遞性。

單峰偏好:設n個個體的偏好排序函數是Ui (X)，(i=1，…，n)，定義在可供選擇的備選方案的集合A上，那么在平面上，若將A標在橫軸上，將Ui (X)標在縱軸上，則至少存在A的一種排列，使得Ui (X)的幾何圖形均有一個高峰[2]。例1中，若備選方案議程順序為極左派政黨，中間派政黨，極右派政黨，曲線圖上顯示甲、乙的偏好為單峰的，丙的偏好則是雙峰的(如圖1)。如果丙的偏好改為單峰的，即極右派>中間派>極左派，那么，進行選擇，就會發現“循環”被消除。

圖1

單峰定理表明，在單峰型的偏好結構中，根據相對大多數原則進行選擇，不會出現“投票悖論”。在大多數情況下，個體的偏好結構會呈現出單峰形。一般地，極右派>極左派 >中間派的個體偏好順序出現的可能性很小，因為絕大多數人不會認為極右派政黨比極左派政黨好，又認為極左派政黨比中間派政黨好。

二、二維條件下的單峰偏好圖形分析

二維條件下，即同時為兩個提案作出選擇。備選方案用二維空間上的點代表。此時，單峰偏好通過連續的同心圓來反映。即圓心為頂峰，同一圓圈上的點表示個體偏好無差異，處于離圓心距離越遠的圓圈上的點，個體對其偏好越低(如例2)。

例2，兩個提案分別為軍事預算和基礎設施預算。三個個體分別為甲、乙、丙。備選方案分別為x、y、z。x代表軍事預算和基礎設施預算均低;y代表軍事預算略高，基礎設施預算較之更高;z代表基礎設施預算略高，軍事預算較之更高(如圖2)。

圖2

對于三個備選方案，甲乙丙的偏好順序分別為，甲:x>y>z;乙:y>z>x;丙:x>z>y;從而群偏好為:x>y>z。

當z點移動到z0點時，乙對方案z的偏好程度沒有改變，但群偏好發生了變化，由甲:x>y>z0;乙:y>z0>x;丙:z0>x>y;推出群偏好為x>y>z0>x，產生循環，即“投票悖論”產生。

當x移動到x1點，y移動到y1點，z移動到z1點時，甲對y的偏好程度，乙對z的偏好程度，丙對x的偏好程度均沒有改變。此時，x1 、y1 、z1三點成一線。由甲:x1>y1>z1;乙:z1>y1>x1;丙:y1>x1>z1。推出群偏好為y1>x1>z1，循環消除。

因此，二維條件下，即使個體偏好為單峰偏好，仍然無法避免“投票悖論”的產生。當個體偏好為單峰偏好，且備選方案三點成一直線時，則可避免投票悖論，因為此時處于三點中間的點被個體一致認為不是最差。

三、N維條件下的單峰偏好

N維條件下(N=2，…，n)即同時對N個提案作出選擇。同樣，用N維空間的相應的點來代表備選方案。每個個體在N維空間中都有一個最理想的點。個體對備選方案的排序可以用其他各點到其最理想的點的距離來表示。N維條件下的單峰偏好[3]用公式表示如下:

當且僅當 d(x-xi)≤d(y-xi)時，有xiy(1)

其中，i代表個體i認為“至少一樣好”的關系;xi代表個體i最理想的方案;x，y為N維空間中任意兩點;d代表距離。則上式表示當且僅當x和xi的距離不遠于y和xi的距離時，個體i認為x和y至少一樣好。

N維空間任意兩點x與y的距離的計算公式如等式(2)

d(x-y)=((x1-y1)2+(x2-y2)2+...+(xn-yn)2)1/2(2)

等式(2)中xj和yj(j=1，…，n)分別表示x和y的第j個坐標點。則n個個體的偏好排序函數是Ui (X)可表示為等式(3)

Ui (X)= fid(x-xi)(3)

結論:一維條件下，單峰偏好是非循環性的充分不必要條件，解決了“阿羅不可能定理”，但卻違背非限制定義域前提。二維條件下，單峰定理并不能解決投票悖論。所以，N維條件下，單峰定理并不適用。

參考文獻:

[1]Arrow K J.Social choice and individual values[M].New York:Wiley，1963.

[2]Black D.The theory of committees and elections[M].Cambridge:Cambridge University Press，1958.

[3]Hannu Nurmi.Comparing voting systems[M].Holland: Reidel Publishing Company，1987.

Analysis of Single-peaked Preference in Multidimensional Choice Situations

XIAO Jiang-bo

(Gansu Institute of Political Management College， Lanzhou 730070，China)

Abstract:Black’single-peakedness condition is analyzed in depth.The paradox of voting will be solved if the individuals have single-peaked preferences over the alternatives in a one-dimensional condition which is an important hypothesis of the theorem.The analysis of single-peakedness is expanded from one-dimensional condition to n-dimensional space.The concept of single-peakedness in an n-dimensional space is studied.The paradox of voting can not be avoided in an over two-dimensional space even though the preferences of the individuals are single-peaked.

Key words:social choice;single-peakedness;paradox of voting

[責任編輯 吳高君]