空間桿系坐標轉換矩陣的改進

【摘 要】現有的空間桿系坐標轉換矩陣需要指定一個參考點且形式比較復雜。本文假定了單元局部坐標系和整體坐標系重合的初位置，單元從初位置經過剛體的定點運動到達實際位置。利用描述剛體定點運動的歐拉角理論，通過修改截面特性實現自轉角的思路，推導得到了不用指定參考點的空間桿系坐標轉換矩陣，并對轉換矩陣的性質進行了證明。

【關鍵詞】歐拉角;坐標轉換矩陣;空間桿系

The space pole fasten to sit a mark a conversion matrix of improvement

Xu Bin

(Dongying City highway bureau Dongying Shandong 257500)

【Abstract】The existing space pole fasten to sit a mark conversion matrix demand appointed a reference point and form more complications.This text suppose the unit part sit a mark to fasten with whole sit mark to fasten heavy match of beginning position， unit from beginning position process just the fixed-point of the body sport arrive actual position.Make use of description just body fixed-point sport of Europe pull Cape theories and pass modification piece noodles characteristic realization to rotate Cape of way of thinking， deduced to get need not appointed reference point of the space pole fasten to sit mark conversion matrix， and to conversion matrix of the property carried on certificate.

【Key words】Europe pull Cape;Sit a mark a conversion matrix;The space pole fasten

1. 現有計算公式的不足

由于公路和鐵路橋梁的軸線或桿件比較細長，常常采用空間桿系進行分析。推導空間桿系的單元剛度矩陣時采用的均為局部坐標系，局部坐標系坐標軸方向是由單元方向確定的。計算時需將單元的節點力、位移和單元剛度矩陣轉化到整體坐標系，然后才能疊加組成整體剛度矩陣。假定整體坐標系為OXYZ，局部坐標系為ox'y'z'則作表轉換矩陣[T]為[1]:

[T]=0  0其中:[]= cos(X，x')cos(X，y')cos(X，z')cos(Y，x')cos(Y，y')cos(Y，z')cos(Z，x')cos(Z，y')cos(Z，z')(1)

式(1)中:cos(X，x')表示局部坐標系x'軸相對整體坐標系X軸的方向余弦，其余以此類推。

作者在研究中發現，為了確定方向余弦矩陣，通常的做法是在確定單元坐標系的同時確定一個參考點k(如圖1)。令k位于ox'y'平面內，這樣，通過向量之間的關系可以確定坐標轉換矩陣為[2][3][4]:

[]= l1 g1-l1(l1g1+m1g2+n1g3)s m1g3-n1g2sm1 g2-m1(l1g1+m1g2+n1g3)s n1g1-l2g3sn1 g3-n1(l1g1+m1g2+n1g3)s l1g2-m1g1s(2)

式(2)中:假定節點i坐標為(xi，yi，zi) ;j節點坐標為 (xj，yj，zj) ;k點坐標為 (xk，yk，zk) 。 

l1=xj- xilm1= yj- yi ln1=zj-zil

l= (xj-xi) 2+(yj- yi) 2+(zj-zi) 2lk= (xk-xi) 2+(yk- yi) 2+(zk-zi) 2

g1= xk-xilk g2= yk-yilkg3= zk-zilk

這種轉換存在以下的問題:第一、需要確定額外的k點坐標，增加了工作量，且k點坐標難確定。第二、公式復雜、計算量大。下面利用確定剛體方位的歐拉角對坐標轉化矩陣進行改進。

2. 歐拉角的適用性

剛體運動時，如果其上一點一直保持靜止，則這種剛體運動稱為定點運動[5]，歐拉角可以用來唯一的描述剛體的定點運動。由于坐標軸平移對空間桿系的坐標轉換矩陣沒有影響，所以可以將坐標原點平移到單元i節點上，并假定單元的實際位置是一組剛體運動的末狀態。在初始位置局部坐標系和整體坐標系重合，單元形心軸和整體坐標系的X軸重合。然后經過i節點的定點剛體運動到達末狀態的位置即實際位置。

圖1 k點在局部坐標系中的位置

根據歐拉角的定義:繞OZ旋轉角θ1(∠XOP)為進動角，繞oy'旋轉角θ2(∠x'OP)為章動角。另外剛體繞ox'軸旋轉為自轉角θ3。由歐拉角的性質可知:對于坐標系OXYZ到坐標系ox'''y'''z'''的位置改變可以由下面的三次轉動來實現:坐標系OXYZ繞OZ軸旋轉進動角到達坐標系OZx'y'，坐標系OZx'y'繞oy'旋轉章動角到達坐標系ox''y''z''，坐標系繞ox''旋轉自轉角到達ox'''y'''z'''，如圖2所示:

圖4 局部坐標系在整體坐標系中的位置

為了簡化計算，假定在進動角之前發生了自轉角，且假定發生自轉角并沒有改變局部坐標系的位置而是改變了單元的截面特性。這樣可通過修改單元在局部坐標系下的剛度矩陣實現單元的自轉角。坐標轉換矩陣中就只考慮進動角和章動角即可。單元坐標系的轉換分三步進行:第一步，根據自轉角的值修改局部坐標下的單元剛度矩陣但保持局部坐標系不轉動;第二步，考慮進動角對單元的影響;第三步，考慮章動角對單元的影響，如圖3所示:

圖2 剛體運動坐標軸轉動過程

圖3 空間桿系單元坐標的轉換過程

3. 使用歐拉角計算坐標轉換矩陣

如圖4，取局部坐標系 x'oz' 平面與整體坐標系OXY平面的交線為OP。若以e1，e2，e3表示ox'y'z'的單位向量、l為OP長度、L為桿長、其余符號的含義如上所述，則:

l=(xj-xi) 2+(yj- yi) 2

L=(xj-xi) 2+(yj- yi) 2+(zj-zi) 2

sin(θ1)=xj-xil cos(θ1)=yj- yil

cos(θ2)=lL sin(θ2)=zj-ziL

在下面的推導中旋轉角用右手定則判定正負號，即逆時針方向為正。

由于在坐標轉換矩陣中不考慮自轉角的影響，P為j節點在XOY面上的投影，則根據幾何關系得:

cos(X，x') =|e1| cos(θ2)cos(θ1)/|e1|=cos(θ2) cos(θ1)(3)

cos(Y，x') = |e1| cos(θ2)cos(900-θ1) /|e1|=cos(θ2) sin(θ1)(4)

cos(Z，x') =|e1| cos(900+θ2)/|e1|=-sin(θ2)(5)

由于章動角對Oy' 軸沒有影響，所以Oy' 軸還在OXY平面內，根據幾何關系可得:

cos(X，y')=|e2|cos (900+θ1)/|e2|=-sin(θ1) (6)

cos(Y，y')= |e2|cos (θ1)/|e2|=cos (θ1)(7)

cos(Z，y')=0(8)

由于進動角對Oz'軸沒有影響，章動角使得Oz'軸沿O y'軸順時針轉東θ2角，由幾何關系得:

cos(X，z')=|e3|cos (900-θ2)cos (θ1)/|e3|=sin(θ2)cos(θ1) (9)

cos(Y，z')=|e3|cos (900-θ2)cos (900-θ1)/|e3|=sin(θ2) sin(θ1)(10)

cos(Z，z')=|e3| cos (θ2)/|e3|=cos (θ2)(11)

將式(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)代入余弦矩陣(1)得:

[]=cos (θ2)cos (θ1) -sin(θ1)sin(θ2)cos (θ1)cos (θ2) sin(θ1) cos (θ1)sin(θ2)sin(θ1) -sin(θ2) 0 cos (θ2)(12)

轉換矩陣[T]具有一個性質:即[T]的逆陣等于它的轉置矩陣。要證明這一特征只需要證明[] 的轉置等于它的逆陣即可，顯然:

[][]T= c22c21+s12+s22c12 c22s1c1+s1c1+s22s1c1 -s2c2c1+c2s2c1c22s1c1-s1c1+s22s1c1 c22s21+c12+s22s12 -s2c2s1+s2c2s1-c2c1s1+s2c1c2-c2s1s2+c2s1s2s22+c22 =1 0 00 1 00 0 1

式中:c1=cos (θ1) 、s1=sin(θ1) 、c2=cos (θ2)、s2=sin(θ2) ，得證。

4. 結論

空間桿系的坐標轉換矩陣反映了單元剛度由局部坐標系到整體坐標系的轉換。作者從相反的思路，假定單元初始位置局部坐標系和整體坐標系重合，則實際位置是初始位置定點剛體運動的結果，坐標轉換矩陣和這組剛體定點運動的歐拉角是一一對應的。通過修改局部坐標系下單元剛度矩陣實現自轉角的方法，作者推導得到了形式比較簡單的坐標轉換矩陣。在使用中利用下面的特點可以簡化計算:

(1)當自轉角不為零時，相當于梁截面沿其形心軸旋轉相應的角度，由于坐標軸不變所以要對截面特性進行修改。

(2)對局部坐標下的剛度修正僅需要修正截面對y'軸的抗彎慣性矩Iy和截面對z'軸的抗彎慣性矩Iz兩個參數即可，而在實際應用中自轉角大多為±90°且截面沿z'軸和y'軸對稱，只需要交換Iy、Iz即可。

(3)把單元的自轉角用變換局部坐標系下剛度矩陣的方法實現后，相當于另一不同截面的單元僅僅發生了進動角和章動角，在單獨對某個單元進行受力分析時要按修改后的截面進行分析。

(4)由于ox'軸可由兩個節點i、j唯一的確定，所以其方向余弦也可以由兩節點坐標直接求解。

(5)桿單元只與截面積和桿長有關，可以不考慮自轉角。

參考文獻

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[文章編號]1006-7619(2010)07-04-148

[作者簡介] 胥斌(1969-)，山東墾利人，東營市公路局科長，工程師，專業研究方向為道路與橋梁工程。