“函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要 函數(shù)的零點(diǎn)是高中課程標(biāo)準(zhǔn)新增的內(nèi)容。它將代數(shù)和幾何結(jié)合在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想我們教師應(yīng)該在函數(shù)零點(diǎn)的求解與個數(shù)判斷上作深入研究。在教學(xué)中要滲透一些數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞 函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修1，蘇教版，對函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)為：①提出問題；②給出概念；③實(shí)例應(yīng)用；④總結(jié)結(jié)論。筆者認(rèn)為教材的教學(xué)設(shè)計(jì)不是很好，所以進(jìn)行了二次開發(fā)，作了如下的設(shè)計(jì)：

一、教學(xué)過程

1 創(chuàng)設(shè)情景提出問題

師：方程Inx+x-4=0是否有實(shí)根?

設(shè)計(jì)意圖：教材從學(xué)生熟知的二次函數(shù)展開討論，這樣的引人缺乏吸引力，學(xué)生不感興趣，因此我們應(yīng)該重新思考，舉出學(xué)生陌生的問題作為情境。這樣才能吸引注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

2 探索交流發(fā)現(xiàn)新知

師：為了解決上述問題，我們先研究y=x2-2x-3的圖像。回答：①x2-2x-3=0的根是什么?②方程的根和函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)之間有什么聯(lián)系?

生：學(xué)生結(jié)合圖像回答。

師：引出課題：函數(shù)的零點(diǎn)。再思考：

①函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)圖像之間有什么聯(lián)系?

生：函數(shù)的零點(diǎn)－方程的根－圖像與x軸交點(diǎn)。

②函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?

生：不是，是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是實(shí)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生遇到復(fù)雜問題時簡單化，尋找類似簡單問題的解決方法，進(jìn)行合理遷移，培養(yǎng)學(xué)生解決新問題的能力。

3 師生互動總結(jié)方法

師：課本P75例1。

生：自行閱讀。

師：例2：函數(shù)f(x)=lnx+x-4的零點(diǎn)的個數(shù)為_________。

生：無法求根，可作函數(shù)的圖像，再判斷。

師：圖像不熟悉怎么辦?

生：可轉(zhuǎn)化為熟悉的圖像，轉(zhuǎn)化為y1=lnx與y2=-x+4的交點(diǎn)個數(shù)。

師：非常好!通過方程的等價轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)未知向已知轉(zhuǎn)化。

設(shè)計(jì)意圖：對于新問題，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)與方程的聯(lián)系，由未知向已知轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)從不同角度思考問題的習(xí)慣。

師：函數(shù)零點(diǎn)的求解與個數(shù)的判斷，有什么方法?

生：討論，總結(jié)方法：①(代數(shù)法)求相應(yīng)方程的根。②(幾何法)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)。

4 乘勝追擊得出結(jié)論

師：f(*)=lnx+x-4有零點(diǎn)的區(qū)間為(k，k+1)，則整數(shù)k的值為________。

生：由圖像可知零點(diǎn)在(1，4)，要細(xì)化，考查(1，4)中的整數(shù)，得k=2.

師；解后反思，發(fā)現(xiàn)f(2)<0，f(3)>0，這說明什么?

生：y=f(x)在(2，3)上必有零點(diǎn)。一般地，若y=f(x)在[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)<0，則y=f(x)在(a，b)上有零點(diǎn)

設(shè)計(jì)意圖：通過變式訓(xùn)練熟悉各類題型，積累解題經(jīng)驗(yàn)；通過解后反患，由特殊到一般，總結(jié)重要結(jié)論。

5 反思質(zhì)疑完善建構(gòu)

師：針對該定義，思考：①為什么圖像要“不間斷”?

生：若間斷，結(jié)論不成立如：f(x)=x-1在[-1，1]上。

②結(jié)論是有零點(diǎn)，有幾個?

生：不確定!如f(x)=x3-3x在[-2，2]和[-1，1]上。

師：③若f(a)f(b)>0是否沒有?

生：不是!如：f(x)=x3-3x在[-1，2]上。

設(shè)計(jì)意圖：打破教材的神圣地位，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的習(xí)慣，幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S。

師：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷究竟該如何?

生：若y=f(x)在[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線。①若f(a)f(b)<0，則y=f(x)在(a，b)上至少有一個零點(diǎn)；②若f(a)f(b)>0，則y=f(x)在(a，b)上零點(diǎn)個數(shù)不確定：③若f(a)f(b)=0，則y=f(x)在區(qū)間端點(diǎn)中至少有一個零點(diǎn)。各種情況具體幾個要研究函數(shù)性質(zhì)。

6 當(dāng)堂訓(xùn)練促進(jìn)深化

(1)f(x)=xlgx-1有零點(diǎn)的區(qū)間為(k，k+1)，則整數(shù)k的值為______。

(2)方程3x+log2x=0在[0.25，1]內(nèi)實(shí)數(shù)根的個數(shù)為_______。

設(shè)計(jì)意圖：通過當(dāng)堂訓(xùn)練，來增強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解，完善知識結(jié)構(gòu)體系!

7 課堂小結(jié)形成網(wǎng)絡(luò)

◆函數(shù)的零點(diǎn)概念：函數(shù)的零點(diǎn)－方程的根－圖像與x軸交點(diǎn)。

◆函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法

◆數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想。

設(shè)計(jì)意入：回憶本節(jié)內(nèi)容，回顧做題經(jīng)歷，暢談個人體會，互相交流借鑒原本分散的知識經(jīng)過梳理更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，初步形成知識網(wǎng)絡(luò)。

二、對本教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

教材的二次開發(fā)主要有四個過程：課程情景化、課程重構(gòu)、多元主體對話和課程教學(xué)一體化的過程

本課從未矧的方程出發(fā)，建立合理的情境，讓學(xué)生陷入困境，激發(fā)求知欲。這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了新課程以學(xué)生為主體的思想，變“被動學(xué)習(xí)”為“主動學(xué)習(xí)”。

本節(jié)課的思維活動緊緊圍繞著函數(shù)的零點(diǎn)這一核心內(nèi)容由低到高，逐步深入的展開，始終滲透著數(shù)學(xué)的三大思想方法：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合。

教學(xué)不是簡單的傳遞、灌輸書本知識，而應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)情境創(chuàng)造性的使用教材，其間可涉及教材內(nèi)容的調(diào)整加工、教材資源的整合和教師自主開發(fā)的教學(xué)資源等。從而達(dá)到更好地開發(fā)教材的目的。