題目是如何解出來的

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，就是使學(xué)生“具有正確、迅速的運(yùn)算能力，一定的邏輯思維能力和一定的空間想象能力，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力”。學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，必須與數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)以及一般解題方法的教學(xué)緊密結(jié)合起來，這巳成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。但是，在教學(xué)實(shí)際中。應(yīng)該通過哪些途徑有效地進(jìn)行訓(xùn)練才能取得更好的效果，從而提高解題能力與解題效果?

一、抓理論，抓基礎(chǔ)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生解題能力的高低，取決于學(xué)生的素質(zhì)。即知識(shí)結(jié)構(gòu)與智能結(jié)構(gòu)(原認(rèn)知結(jié)構(gòu))。它們與解題能力的關(guān)系，恰如屋基與高樓、樹根與大樹的關(guān)系因此，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。一定要從數(shù)學(xué)基本理論、基本技能和基本方法的教學(xué)抓起。

抓概念、定理、公式、法則等的教學(xué)，要求學(xué)生做到理解、熟練。例如，對(duì)于概念，不僅要講清概念的內(nèi)涵和外延，弄清概念與概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，還要引導(dǎo)學(xué)生從正反幾方面提出問題來加深他們對(duì)概念的理解。對(duì)于概念的掌握，要對(duì)學(xué)生提出明確的要求：(1)要求他們懂，要理解得準(zhǔn)確、透徹；(2)要求他們會(huì)講，能用正確的數(shù)學(xué)語言來敘述這些概念，能用自己的話來通俗地解釋這些概念，有些重要的定義、定理要一字不差地背下來；(3)要求他們會(huì)用，運(yùn)用得熟練基礎(chǔ)知識(shí)掌握好了，解題就有了依賴的基礎(chǔ)。

二、強(qiáng)化解題教學(xué)的針對(duì)性

解題教學(xué)的本質(zhì)是“思維過程”，受年齡等因素的限制，學(xué)生思維發(fā)展有其特定的規(guī)律，這需要解題教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)置最近發(fā)展區(qū)，進(jìn)行有針對(duì)性地訓(xùn)練。

1 注重例題的選取例題是用來說明某一定律或定理，或在運(yùn)用某一學(xué)科或?qū)W科分支的定律時(shí)充當(dāng)練習(xí)的題，數(shù)學(xué)教學(xué)中傳授知識(shí)、展示數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生能力的重要載體。學(xué)生解題，較依賴?yán)}的解題模式、思路和步驟，力圖實(shí)現(xiàn)解題的類化。因此，例題教學(xué)要突出其目的性、啟發(fā)性、示范性、延伸性、規(guī)律性，使學(xué)生從中學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的方法，提高思維決策能力。例如，asinx+b求最值，則可以看做由sinx+b(a=1)，-2sinx+b(a=-2)，2sinx+b(a=2)幾種特殊形式的演化。形象地解釋了好多同學(xué)的疑問：為什么最大值不是a+b。

2 強(qiáng)調(diào)教師在解題過程中思維的過程。一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是：“老師是怎么想出這個(gè)解法的?”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以想出。但為什么我沒有想到呢?”這些問題是學(xué)生最感困難的。教師在教學(xué)中，應(yīng)采取主動(dòng)的接受學(xué)習(xí)的方式，輔以有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，將自身或者怎樣理解前人是如何看待問題、又是如何找出解決問題的辦法這一思維進(jìn)程展示給學(xué)生，幫助他們認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的必然的因果關(guān)系，從中領(lǐng)悟到分析、思考和解決問題的思想方法和步驟，這對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力是十分重要的；特別地，適時(shí)展示教師思維受阻、失敗的探索過程，分析其原因，從反面襯托正確思路的必要性與合理性，也能給學(xué)生十分有益的啟示。

三、讓學(xué)生適應(yīng)一種很好的解題模式

著名數(shù)學(xué)家波利亞的解題表將解題思考過程分為兩個(gè)步驟：1、你必須弄清問題：(1)要求解(證)的問題是什么?它是哪種類型的問題?(2)已知條件(已知數(shù)據(jù)、圖形、事項(xiàng)及其與結(jié)論部分的聯(lián)系方式)是什么?要求的結(jié)論(未知事項(xiàng))是什么?(3)所給圖形和式子有什么特點(diǎn)?能否用一個(gè)圖形(幾何的、函數(shù)的或示意的)或數(shù)學(xué)式子(對(duì)文字題)將問題表示出來?能否在圖上加上適當(dāng)?shù)挠浱?hào)?4有什么隱含條件?

2、找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系：辨別題目類型、聯(lián)系可能用到的知識(shí)、方法，找出已知與未知問的關(guān)系(1)能否將題中復(fù)雜的式子化簡(jiǎn)?(2)能否對(duì)條件進(jìn)行劃分，將大問題化為幾個(gè)小問題?(3)能否將問題化歸為基本命題?(4)能否進(jìn)行變量替換、恒等變換或幾何變換，將問題的形式變得較為明顯一些?(5)能否形——數(shù)互化?利用幾何方法來解代數(shù)問題?利用代數(shù)(解析)方法來解幾何問題?(6)利用等價(jià)命題律(逆否命題律、同一法則、分?jǐn)嗍矫}律)或其他方法。可否將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較為熟悉的等價(jià)命題?最終目的：將未知轉(zhuǎn)化為已知。

四、認(rèn)清個(gè)體差異施行因材施教

非智力因素，主要指注意力、堅(jiān)持性、動(dòng)機(jī)和態(tài)度等心理品質(zhì)及人格特征的個(gè)性差異，這些因素對(duì)解題決策產(chǎn)生直接影響，需要教師在教學(xué)中有意識(shí)的引導(dǎo)和調(diào)控。

1 加強(qiáng)解題后進(jìn)行反思的訓(xùn)練解題心理規(guī)律告訴我們，學(xué)生在解題過程中可能百思不解，爾后又可能突然頓語此時(shí)的思維具有很大的直覺性，可能顧及不到對(duì)自己的思維過程進(jìn)行分析、整理。事實(shí)上，有效的解題方法，體現(xiàn)了很多重要的數(shù)學(xué)思想。它對(duì)解決同類問題、拓寬思路、提高解題決策能力是十分重要的。要使學(xué)生學(xué)會(huì)從正確的解題中總結(jié)方法，提高對(duì)解法的理解，形成能力。同時(shí)，對(duì)習(xí)題中的錯(cuò)誤也要進(jìn)行剖析。錯(cuò)解真實(shí)地反映了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握上的不足，總結(jié)思維受阻、解法錯(cuò)誤的原因何在，就能對(duì)正確解法認(rèn)識(shí)得更深刻。

2 鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，勇于實(shí)踐解題的成功常常伴隨在試一試的過程中完成的，正如波利亞評(píng)價(jià)歐拉出色解決了伯努利的求級(jí)數(shù)和的問題時(shí)說的“歐拉成功的決定因素是大膽”。因此，教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生大膽一試，把想法變成行動(dòng)。

總之，學(xué)生解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的潛移默化和學(xué)生的自覺行動(dòng)就能做好的，需要教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際，堅(jiān)持有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練。教會(huì)學(xué)生在解題的過程中，使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。