淺析數學課堂教學中的數學思想方法

數學是一個有機的整體。各部分之間互相聯系，互相滲透，數學又是一門嚴謹的科學，需要縝密的思維和一絲不茍的態度。人的一生與數學有著密切的關系，因此，有必要提高人們的數學素養。這就要求我們在數學教學中，不僅要重視知識的形成過程，更要重視在這個過程中所蘊含的數學思想方法。如果說數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，那么數學思想則是數學意識，屬于思維的范疇，應該在理解、領會的基礎上對數學問題進行處理和解決

數學思想方法是從數學內容中抽象概括出來的，是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁。初中數學教學中所包含的數學思想方法主要有：(1)確數與方程思想；(2)數形結合思想；(3)分類討論思想；(4)轉化與化歸思想，等等。

一、函數與方程思想

函數是用于刻畫數量關系的一種模型，揭示了兩個變量之間的對應關系，即一個量的變化引起了另一個量的變化。這種變化關系就是函數關系，通常有三種表示方法：列表法、圖像法、解析法這三種方法相輔相成，把函數的性質淋漓盡致地展現出來。

所謂函數思想就是用聯系和變化的觀點提煉數學對象、抽象數量特征、建立函數模型，再通過對函數的研究，利用函數的有關性質來分析并解決問題。在這個過程中，建模是一個重要環節，只有把數學問題轉化為函數問題，建立函數關系，再利用相應函數的性質才能有效地解決相關問題

方程思想就是從分析問題的數量關系入手，分析已知量和未知量之間的制約關系，從而逐步把未知轉化為已知的思想在解決問題的過程中，通常先設未知數，分析問題中的相等關系，再根據相等關系列出方程或方程組，最后通過解這個方程或方程組來求得來知數的值，從而使問題得以解決

函數與方程有著密切的關系，在教學過程中，要注重培養學生的函數與方程意識，幫助學生掌握各類函數的圖像與性質，善于挖掘問題中的相等關系，學會建模，進而順利地解決問題。

二、數形結合思想

數形結合思想作為一種重要的數學思想，主要是通過對題目的分析，構造出相應的圖像或圖形，再用幾何的方法來求解的方法。它把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思索，使抽象思維和形象思維相結合，從而使復雜的問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。它在初中數學解題中有很重要的作用，教師在教學過程中應注重這方面引導，幫助學生進行從抽象的“數”與具體直觀的“形”之問的靈活轉化，從而提高學生解題能力。

一定的“形”常對應一定的“式”。解代數題時，抓住式的結構特征，反過來聯想與之對應的形，把代數問題轉化到幾何領域，通過研究形的性質而解決。這種由式而產生的圖形，就是經驗形象。如概率問題用畫樹狀圖來求解，行程、工程問題用構直線形圖示求解，方程問題用函數圖像求解，都是經驗形象的作用。著名數學家華羅庚說過：“數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛?數缺形時少直覺，形缺數時難人微。數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系奠分離。”在初中數學中，數形結合，就是將以研究數量關系為主的代數分支與以研究圖形性質為主的幾何分支緊密結合起來，即“代數問題幾何化，幾何問題代數化”。這些都是數形結合的典型例子。如何在一個數學問題中運用數形結合的思想，是解決與圖形、圖像有關的問題的關鍵。教師在教學過程中應注重這方面的引導。幫助學生進行抽象的“數”與具體直觀的“形”之間的靈活轉化，從而提高學生的解題能力。

三、分類討論思想

分類討論思想是解決問題的一種邏輯思想。有關分類討論思想的數學問題在數學學習過程中之所以占有重要位置，其一是其具有明顯的邏輯特點；其二是其能很好的訓練人的思維的條理性和概括性在分類討論時，我們把一個數學問題的研究對象按一定的標準分為幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上就是“分而治之，各個擊破”的策略

分類討論的步驟是：①明確討論對象，確定對象的全體；②掌握分類標準，恰當合理分類；③逐類逐級討論，獲得階段結果；④綜合概括小結，歸納得出結論

引起分類討論的原因。通常有以下幾種：(1)涉及的數學概念是分類定義的(如一個數的絕對值問題)；(2)公式、定理、性質或運算法則的應用范圍受到限制(如等比定理的前提是各個比值前比例后項相加的和不等于零，在運用時應考慮到這個前提是否成立的情況)：(3)幾何圖形中點、線相對位置不確定(如圓中的三種位置關系)；(4)求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；(5)數學問題中含有參數，這些參數的不同取值會導致不同結果

另外，在分類討論時要注意，標準統一，不重復、不遺漏。

四、轉化與化歸思想

將未解的問題轉化成已有知識范圍內可解的問題，它是解決數學問題的一種重要思想和方法。正是通過不斷的轉化，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，把不規范的問題轉化為規范化的甚至模式化的問題，把復雜的轉化為簡單的，使本質被掩蓋的問題露出“廬山真面目”，使起初看來撲朔迷離的問題有了“主攻”的方向進而發現解決問題的具體方法。

轉化有等價轉化和不等價轉化兩種。等價轉化后的新對象與原對象的形式不同，實質一樣，如二元一次方程組轉化為一元一次方程。不等價轉化部分地改變了原對象的實質，例如把分式方程轉化為整式方程，可能不等價，因此最后頹驗根，即對結論進行修正。聯想是轉化的橋梁。轉化需要廣泛的聯想。廣泛的聯想和轉化的實現都需要豐富扎實的基礎知識、基本技能和基本方法。

學習數學就意味著善于運用已有的知識解決數學問題，因此對精選后的例題要重視運用數學思想方法近年來數學命題者十分重視對數學思想方法的考查。特別是突出考查能力的試題，其解題過程中都蘊涵著重要的數學思想方法。因此在具體教學過程中，應不斷地進行總結和補充，有意識地進行這方面的轉化，使數學知識和數學思想方法相結合。使學生以積極創新的思想方法吸取知識，進一步提高分析問題和解決問題的能力。