三個不等式的統一研究
2010-12-31 00:00:00黃潔虹
福建中學數學 2010年11期
題1(《數學通報》2007年1月1651號問題) 已知，求證: xyn∈∈R+、、z，()312xyznxyzxnyzxynzn++≤+++++++. 題2(《數學通報》2007年9月1694號問題) 設，且，則 abc+∈R、、1abc=++()333311136abc+++++≤. 題3(田彥武.一個不等式推廣及猜想.中學數學，2007(2))若，且0abcd>、、、1abcd+=++，則()333311112563651111abcd+++≤++++. 運用本文給出的命題可以統一證明上述三題，在給出命題前，先給出以下引理: 引理 設，，、不同時為0，，nabcdp∈R、、、、0cd≥、cdadbcΔ#8722;s20=+∈N，12nxxx===#56256;56354 .#56256;56354 .為非負實數且不同時為0，為定值，則當，或，時， 1niiW==ΣΔ≥0[01]p∈，0Δ≤1p≥()111pppnippiinabWnaxbWcxdWcdWn#8722;8722 .=++≤++Σ， 等式成立12nxxx#8660;==#56256;56354 .#56256;56354 .. 證明 對于函數， 0pyxx=≥，當時，[01]p∈，()-210pyppx′′=#8722;≤
