小議函數y=Asin(ωx+φ)+b圖像的變換

函數y=Asin(ωx+φ)+b圖像的變換有平移變換與伸縮變換。振幅、周期的變化涉及伸縮變換，而初相、圖像上下位置的變化涉及平移變換。由于y=Asin(ωx+φ)+b的圖像變換是三角知識中的重點與難點，是高考中的命題點，我們有必要搞清函數圖像的變換與函數解析式變化得對應關系。筆者就函數圖像橫向的平移與伸縮變換和函數解析式中的自變量的變換之間的對應關系介紹一些簡便的變換方法。

一、平移變換

平移變換包括橫向平移和縱向平移兩種:

(1)函數y=sin(x+φ)，x∈R(其中φ≠0)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平移|φ|個單位長度而得到的，即所謂的“左加右減”。

函數圖像的左右平移對解析式的影響主要體現在自變量x的變化上(若x的系數不為1時，需提出系數后，由平移法則找出x的變換)，由自變量x的變換可得到平移變換后的函數解析式。

(2) 函數y=sinx+b，x∈R的圖像可以看作把正弦曲線上所有點向上(當b>0時)或向下(當b<0時)平移|b|個單位長度而得到的，即所謂的“上加下減”。

例1 (2009湖南卷理):將函數y=sinx的圖像向左平移φ(0≤φ<2π)的單位后，得到函數y=sin(x-)的圖像，則φ等于(D)

解析:由函數y=sinx向左平移φ的單位得到y=sin(x+φ)的圖像，由條件知函數y=sin(x+φ)可化為函數y=sin(x-)，易知比較各答案，只有y=sin(x+)=sin(x-)，所以選D項。

二、伸縮變換

(1)函數y=sinωx，x∈R(其中ω>0，ω≠1)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍而得到的。

函數y=sin(x+φ)，x∈R(其中φ≠0)圖像的左右伸縮變換對函數解析式的影響體現在自變量x的變化上，對初相φ則不發生變化。

要求函數f1(x)的圖像經過左右伸縮變換后對函數f2(x)的解析式，只要看自變量x的變換，就可得到f2(x)的解析式。

(2)函數f(x)=Asinx(A>0)的圖像可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標縮短(當01)到原來的A倍而得到的。

例2:將函數y=3sin()圖像上的橫坐標伸長到原來的兩倍，縱坐標不變所得圖像對應的解析式為_____。

解析:函數圖像上橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，只要將解析式中的x換成，就可得到變換后的函數表達式。

所以變換后的解析式為:y=3sin。

三、綜合變換

對于函數f1(x)=Asin(ω1x+φ1)+b與f2(x)=Asin(ω2x+φ2)+b，總可以將其中的一個函數經過平移和伸縮變換得到另一個函數的圖像。要知道這兩個函數之間的變換，只要根據這兩個函數解析式的變化，看自變量x進行了怎樣的變換，就可以知道對應的函數圖像進行了怎樣的平移和伸縮變換。

要注意的是:由一個函數圖像變換為另一個函數圖像時，可以先進行橫坐標的伸縮變換，再進行左右的平移變換，也可以先進行左右的平移變換，再進行橫坐標的伸縮變換，但兩次平移變換的長度一般是不同的。

例3:如何由f(x)=3sin(2x+)的圖像通過平移和伸縮變換得到f(x)=3sin()的圖像?

要弄清三角函數圖像平移及伸縮變換與解析式之間的對應關系，關鍵是找到變換前后的兩函數自變量之間的變換關系，然后通過平移和伸縮法則，就可較快捷地解決好有關問題。

(承德縣六溝高中)