淺談“代入消元法”和“換元法”

邏輯的嚴謹性是數學學科的特點之一，而不同內容的聯系性、數學思想方法的一致性則是嚴謹性的關鍵所在。利用數學內容的內在聯系，使不同的數學內容相互溝通，既是使學生建立功能良好數學認知結構的需要，也是提高學生數學能力和對數學整體認識水平的需要。初中數學與高中數學的聯系也越發密切。當講到“用代入法解二元一次方程組”時，筆者就想到了高中所講的“換元法”。

一、利用代入消元法快速求值

新人教版7年級下冊105頁有這樣的描述：在二元一次方程組的一個方程中，把一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

例1：把下列方程改寫成用含x的式子表示y的形式：

（1）2x﹣y=3（2）3x﹢y﹣1=0

解：（1）y=2x﹣3 （2）y=1﹣3x

這里即分別用y來換掉2x﹣3和1﹣3x。

例2：若3x-4y=0，且xy≠0，則的值等于#8239;#8239;#8239;。

解.由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入得

=#8239; =

點評：這里用3x來替換4y，問題便解決。

例2.已知x2-2x-5=0，將下列式子先化簡再求值：

（x-1）2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

#8239;解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

=3x2-6x-5

=3(x2-2x)-5

∵x2-2x-5=0

∴x2-2x=5

若3x-4y=0，且xy≠0，則的值等于#8239;#8239;#8239;#8239;#8239;。

解.由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入得

=#8239; =

點評：這里用3x來替換4y，問題便解決。

例2. 已知x2-2x-5=0，將下列式子先化簡再求值：

（x-1）2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

#8239;解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

=3x2-6x-5

=3(x2-2x)-5

∵x2-2x-5=0

∴x2-2x=5

∴原式=3×5-5=10

點評：利用“整體思想”將所給條件x2-2x-5=0變形為x2-2x=5，然后整體代入化簡后的式子3(x2-2x)-5中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x2-2x-5=0，得x=1±√6，再分別代入。

二、利用加減法快速求值

新人教版7年級下冊108頁有這樣的描述：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

合理利用此思想，在求值題中同樣可以收到事半功倍的效果。

例3.若4x+5y=10，且5x+4y=8，則#8239;#8239;#8239;#8239;#8239;。

解：由題意得：

由 ① + ② 得：9x+9y=18#8239;#8239;#8239; 即：x + y= 2

由 ② － ①得：x － y=-2

所以-1

點評：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8組成方程組，求出方程組的解，再把解代入求值。這樣運算量不僅大，而且容易出錯。

如果認真分析所求值式，可考慮利用加減法很快求得x+y和x-y的值，于是此題迎刃而解。

三、化“未知”為“已知”

例4.已知 ，則x:y:z=#8239;#8239;#8239;#8239;；

解：將方程組中

由②－①得：y－3z=0

∴y=3z#8239;#8239;#8239; ③

把③代入②中得：x=2z

∴#8239;x:y:z=2z:3z:z=2:3:1

點評：此方程組中含有三個未知數，要解決該問題，就需要大膽創新，我們初一學生只學習了解二元一次方程組，根據化“未知”為“已知”的“消元”思想，就創造性地把它看作是關于x、y的二元一次方程組，從而找到解決問題的突破口。

總之，教師若能在平時教學中合理展示數學思想和具有代表性的數學方法，既可以讓學生明晰數學知識之間的脈絡和聯系，同時還有利于提高學生的解決問題的能力。

由以上例題可見，初中“代入消元法”中的 “代入過程”與高中數學里的“換元思想”緊密通聯，所以在上課時，我們在學生掌握本節知識的基礎上，應加以拓展，為學生高中的學習打下基礎。