2010\\2009年兩道數學高考壓軸題的比較研究

題1:(2010年廣東文科卷第21題，14分)已知曲線Cn:y=nx2，點Pn(xn，yn)(xn>0，yn>0)是曲線Cn上的點(n=1，2…).(1)試寫出曲線Cn在點Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點Qn的坐標;(2)若原點O(0，0)到ln的距離與線段PnQn的長度之比取得最大值，試求點Pn的坐標(xn，yn);(3)設m與k為兩個給定的不同正整數，xn與yn是滿足(2)中條件的點Pn的坐標，

證明-

<-(s=1，2，…).

題2:(2009年廣東文科卷第21題，14分)已知二次函數y=g(x)的導函數的圖像與直線y=2x平行，且y=g(x)在x=-1處取得最小值m-1(m≠0)，設函數f(x)=g(x)/x.(1)若曲線y=f(x)上的點P到點Q(0，2)的距離的最小值為，求m的值;(2)k(k∈R)如何取值時，函數y=f(x)-kx存在零點，并求出零點.

一、得分情況分析

對題1的276109份和題2的266439份答卷進行統計:題1的平均分為1.21分，標準差1.85;題2的平均分為0.71分，標準差1.55.

這兩道題考查的知識與技能基本相同，表1列出了各分數段的得分人數及百分比例.1～6分段主要考查基礎知識，其中1～3分段考查函數、導函數及直線方程，4～6分段考查距離公式及其運算;而7～14分段重點考查基本技能，其中7～9分段考查函數零點或極值、參數及其運算，10～14分段考查不等式及其求解或證明.

以題2的得分情況為參照，我們從以下5個方面對今年的得分情況進行分析.

1. 作答情況略好于去年.從平均分來看，題1比題2高0.5分，而標準差相差不大，表明學生對壓軸題的作答比去年略好.

2. 得分人數大幅增加.題1的得分人數比例上升幅度較大，表現在0分段(即不得分)的人數比例降低了12.41個百分點，而1～3分段和4～6分段的人數比例分別上升了5.785和7.193個百分點.去年得分人數少的原因是，大量的中下層次的考生覺得去年的選擇題、填空題和送分大題比較難，沒有時間做最后一題.今年則相反.

3. 中上層次的學生基本運算能力較好.4～6分段的人數比例比去年幾乎翻了一番.這說明，盡管新課程削弱了繁瑣的計算和高技巧的題目，但在知識點及難度大致相同的前提下，中上層次的學生基本運算能力并沒有明顯降低.這與高三教師重視運算能力的培養密不可分.

4. 數學應用能力有所提高.7～9分段考查學生對數學的探究和推理能力，人數比例上升了約0.5個百分點.這表明數學課程的基本理念，如倡導積極主動、勇于探究的學習方式，讓學生不斷經歷歸納類比、抽象概括、符號表示和運算求解等思維過程方面，已逐步深入人心.

5. 壓軸效果更加突出.題1比題2增加了一個小問作為壓軸，突出了高考的選拔功能.在10～14分段，題1與題2的得分人數比例分別為0.00652%和0.129%，兩者相差約19倍.這一分數段主要考查學生的數學符號感、常量與變量、不等式的求解或證明等知識，考查學生的化歸與轉化、推理運算和數學探究等能力.全省僅有18名學生得分在10分以上，表明這些知識和能力仍是學生學習中的難點或薄弱環節.

二、典型錯誤分析

隨機選取題1的2450份樣卷和題2的5517份樣卷，出現的典型錯誤因素大同小異，可分成四種情形.

1. 數學概念理解不深入.題1中，導函數與函數在某點處的導數是兩個不同的概念，導函數f ′(x)是函數f(x)的導數，它仍是一種函數(如果導函數是常數，則可看作是常函數)，而函數f(x)在某點(x0，y0)處的導數是用該點橫坐標x0代入導函數f′(x)后求得的函數值，它是一個常數，記為f′(x0)，且數值上等于曲線上經過該點的切線的斜率.在求切線ln的斜率k時，有兩種典型錯誤:(1)有255份樣卷，約占全部樣卷的10.41%，認為“因為yn=nxn2，所以k=y′n=2nxn”.殊不知yn是常數，其導數y′n應為零.(2)有210份樣卷，約占全部樣卷的8.57%，把導函數直接當成切線的斜率，認為k=2nx，明顯張冠李戴!對某一固定的n，過曲線上某點(xn，yn)處的切線只有一條，其斜率k應是一個固定的常數2nxn.題2中，由于不清楚什么是函數的零點，也就無法將函數的零點化歸為求方程的數值解.函數的零點不是“點”，而是使函數值為零所對應的自變量的數值.

2. 距離計算環節出錯.在計算原點O(0，0)到ln的距離d時，結果五花八門.如d=nxn2/、d=nxn2/或d=-nxn2/.原因主要有三:一是運算能力差;二是公式記憶不牢;三是數學素養不夠.事實上，點到直線的距離完全可以通過直線與直線的垂直關系和兩點間距離公式算得;公式記憶出錯是平時只顧死記硬背，而不經歷公式的推理運算過程所造成的惡果;這里的距離d為負，突顯基本數學素養不足，或數學的元認知能力差，這個不經意的錯誤使后面的求解或證明全盤皆輸.

3. 分類與整合能力差.題1中在去絕對值符號時，沒有考慮參數m與k的大小關系.題2中在求解參數m或k時，沒有考慮m可大于或小于零，k可等于或不等于1的情形;或者分類正確，卻因為存在條件嵌套(如k≠1時又分為判別式等于、大于或小于零)而使整合運算出現遺漏，解題過程不完整.

4. 解題信心不足或時間不夠.隨機抽取題1的1060份0分樣卷，有834份空白卷，占全部樣卷的78.67%.同時，隨機抽取題2的3283份0分樣卷，有2522份空白卷，占全部樣卷的76.82%，兩者比例基本持平.

此外，題1還突顯出學生的數學符號感差，不會“以數的眼光看式子”(何小亞.數學學與教的心理學.華南理工大學出版社，2003)，分不清常量與變量，不會將“常數-”從代數式-/2中提取出來，以致分離不出待證不等式1/2<(s=1，2，…).

三、壓軸題中的數學思想方法

題1的第(1)問的關鍵是弄清過曲線上某點處的切線的斜率的概念.對y=nx2求導，得y′=2nx，再以xn代入，得ln的斜率k=2nxn.設第(2)問中的原點O(0，0)到ln的距離與線段PnQn的長度之比為t，對給定的參數n，t=nxn/(1+4n2xn2)是關于xn的函數，可利用基本不等式法、判別式法、導數法等數學思想方法，求得t取最大值時的xn.對第(3)問中的不等式1/2<(s=1，2，…)，可利用放縮法、數學歸納法、構造函數法等思想方法進行證明.

題2的第(1)問考查函數導數、直線方程、兩點間距離公式、基本不等式等知識，用待定系數法和方程等思想可求出m.第(2)問用化歸思想求函數的零點，對學生的分類與整合的思想方法提出了較高要求.

四、研究結論

1. 兩道題的綜合性程度較高，均考查了均值不等式.題2的難度體現在分類討論上，而題1的難度體現在解題步驟跨度大上，其絕對難度遠在題2之上.

2. 兩道題的選拔功能均體現在對數學探究和創新意識的考查上.成功解題的關鍵是對抽象的數學符號的理解.

3. 作為壓軸題，既沒有繁瑣的計算，也沒有偏門的技巧，但形式新穎，符合以問題解決為價值取向的新課程評價理念.

責任編輯 羅 峰