學(xué)生解題后反思能力的培養(yǎng)

在多年的教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生有一個(gè)容易忽視的的問題，那就是解題后的反思，未能形成良好的解題習(xí)慣，所以未能在解題能力和思維品質(zhì)的更深和更高層次上得到有效提升.為了提高學(xué)生的解題能力，教師應(yīng)重視加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思.

一、反思解題過程，探究思想方法

解題后，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟并反思解題過程，把離散的經(jīng)驗(yàn)和結(jié)構(gòu)化程度低的數(shù)學(xué)思想方法概括出來，以便遷移到不同情境中去.

例1已知函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，而且在(0，+∞)上是增函數(shù).試問 f(x)在(-∞，0)是增函數(shù)還是減函數(shù)?

解:設(shè)x1<0，x2<0，且x1

因?yàn)?f(x)是奇函數(shù)，所以 f(-x1)=-f(x1)，f(-x2)=-f(x2) (1)

由假設(shè)可知-x1>0，-x2>0，且-x1>-x2.

又 f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，于是有 f(-x1)> f(-x2) (2)

把(1)代入(2)得:-f(x1) >-f(x2).

所以 f(x1)< f(x2)，故函數(shù) f(x)在(-∞，0)在上是增函數(shù).

解題后，我讓學(xué)生反思解題過程，剖析解題步驟，思考解決這個(gè)問題的切入點(diǎn)或突破口在何處，然后組織學(xué)生討論，最后引導(dǎo)學(xué)生得出解決的突破口在于兩個(gè)“轉(zhuǎn)化”:一是通過將考慮的兩個(gè)自變量x1、x2轉(zhuǎn)化為考慮其相反數(shù)-x1、-x2，把問題轉(zhuǎn)化到區(qū)間(0，+∞)上，從而可以利用已知條件入手;二是借助奇函數(shù)的特征式 f(-x)=-f(x)，把問題重新轉(zhuǎn)化回到區(qū)間(-∞，0)上來，完成解答.這樣的一番探究，讓學(xué)生明白轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化思想自然就“顯山露水”了.

二、反思一題多解，拓展思維空間

一題多解可以將學(xué)生的單向思維轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘞蛩季S，拓寬視野.對于同一道題，從不同的角度去分析，可能會得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法;或者通過不同側(cè)面的觀察，讓學(xué)生的思維觸角伸向不同的方向，擺脫固定的思維方式，發(fā)現(xiàn)思維過程中的不足，以完善思維過程.

例2設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若=，則=()

A. B.C.D.

學(xué)生首先想到的是用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式來求解，容易得出以下兩種解法:

解法一:設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由==，所以a1=2d，所以===，選A.

解法二:因?yàn)镾3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由=得S6=3S3，所以d=S3，再由S9-S6=S3+2d，得S9=6S3.同理可得S12=10S3，所以==，選A.

當(dāng)學(xué)生感到滿足時(shí)，我便不失時(shí)機(jī)地啟發(fā)學(xué)生，讓他們觀察等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).學(xué)生通過討論，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式其實(shí)就是以n為自變量的一次函數(shù)和二次函數(shù)，于是便順理成章地引出下面兩解.

解法三:設(shè)Sn=an2+bn，由==得b=3a，則===，選A.

解法四:由{an}為等差數(shù)列知f(n)=表示的點(diǎn)在一條直線上，三點(diǎn)(3，)，(6，)，(12，)共線，即=，而S3=，故=，整理得=，選A.

這樣由易到難、由淺入深的啟發(fā)誘導(dǎo)，不僅符合認(rèn)識規(guī)律，而且溝通了數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系.通過比較，優(yōu)化和發(fā)展了學(xué)生的思維.

三、反思錯(cuò)解原因，提高辨錯(cuò)能力

有的題目解題條件隱蔽，有的題目故意設(shè)置迷惑條件，解題時(shí)需要在大量題設(shè)信息中捕捉相關(guān)的學(xué)科信息，歸納成學(xué)科中的問題，再通過對相關(guān)知識點(diǎn)的串聯(lián)、并聯(lián)、遷移、轉(zhuǎn)換、分析、綜合等加以解決.但在解題過程中，可能會出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.

例3已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.

錯(cuò)解一:∵1=+≥2=，∴≥6. ∴ x+y≥2≥2×6=12.

錯(cuò)解二:x+y=(+)#8226;(x+y)≥2×2=12.

分析:運(yùn)用基本不等式:a>0，b>≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立)解決最值問題時(shí)必須做到“一正、二定、三相等”，而上面兩種解法沒有滿足“定”的條件.

正解:∵ x>0，y>0，+=1.

∴ x+y=(+)#8226;(x+y)=10++≥10+2=16.

當(dāng)且僅當(dāng)=+，即x=4，y=12時(shí)，x+y取最小值16.

四、反思一題多變，提高應(yīng)變能力

解答完一些典型的題目后，對原題可作適當(dāng)?shù)囊昊蚪Y(jié)構(gòu)的改變，如多角度提問，增加、減少或改變一些條件及逆向命題等，增加知識的覆蓋面和串聯(lián)性，將題目進(jìn)行更高層次的縱向挖掘，橫向延伸.

例4如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上任意一點(diǎn).求證:平面PAC⊥平面PBC.

證明:∵ PA⊥⊙O所在平面，BC在⊙O所在平面

∴ PA⊥BC

又BC⊥AC

∴ BC⊥平面PAC

∵ BC平面PBC

∴ 平面PAC⊥平面PBC.

這是一個(gè)非常典型的習(xí)題，我們可對它進(jìn)行挖掘、探索、拓廣.

1. 保留題設(shè)，改變結(jié)論

變題1:若令∠PBA=1，∠ABC=2，∠PBC=θ，求證cosθ=cosθ1cosθ2，這是立體幾何中很重要的一個(gè)公式，簡稱三角余弦公式.

分析:在Rt△ACB中，cosθ=

在Rt△PAB中，cosθ1=

在Rt△PCB中，cosθ=

∴ cosθ=cosθ1cosθ2.

還可得出一個(gè)結(jié)論:設(shè)PB與平面PAC和平面ABC所成的角分別為θ和，則θ+<90°.

變題2:在三棱錐P-ABC中存在外接球且PB是外接球的直徑.

變題3:在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，側(cè)面PAC和側(cè)面PCB成直二角，若∠BPC=45°，PC=a，求這個(gè)三棱柱外接球的體積.

2. 增設(shè)條件、衍化結(jié)論

變題1:在原題重要條件下，若DE垂直平分PB，且分別交AB、PB于D、E，又PA=AC，PC=BC，求二面角B-CD-E的大小.

在此題設(shè)條件還可以得出如下結(jié)論:①求二面角A-PB-C的大小(即∠CED=arccos);②求截面CDE把三棱錐P-ABC分成的二部分的體積之比(1∶2).

變題2:在原題條件下，設(shè)∠BAC=θ(0°<θ<90°)，PA=AB=2，①求異面直線PB與AC所成角;②求異面直線PB和AC的距離.

責(zé)任編輯羅峰