馬爾柯夫分析法在應收賬款管理中的運用

[摘要]在企業(yè)的管理決策等工作中，經(jīng)常會遇到這樣的情況，事物未來的發(fā)展及演變狀態(tài)僅僅受事物現(xiàn)狀的影響，而與過去的狀態(tài)無關，也就是具有馬爾可夫性。運用馬爾可夫模型，對具有馬爾可夫性的應收賬款分析和預測，為馬爾可夫分析法應用的拓廣和應收賬款的管理和預測提供理論依據(jù)和實際應用的參考。

[關鍵詞] 馬爾科夫過程;轉(zhuǎn)移概率;應收賬款

一、馬爾柯夫分析法的基本原理

(一) 馬爾可夫過程

馬爾科夫分析法是以俄國數(shù)學家Morkov 名字命名的一種數(shù)學方法，主要運用于對象未來所處狀態(tài)的分析和預測。按照系統(tǒng)的發(fā)展，時間可離散化為n = 0 ，1 ，2 ，3 ， #8943;，k ， #8943;。每個系統(tǒng)的狀態(tài)可用隨機變量表示，并且對應一定的概率，該概率稱為狀態(tài)概率。當系統(tǒng)由某一階段狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一階段狀態(tài)時，存在著相應的轉(zhuǎn)移概率。如果系統(tǒng)將來的狀態(tài)變化只與現(xiàn)在狀態(tài)有關而與過去狀態(tài)無關，那么這種按照離散時間的隨機轉(zhuǎn)移系統(tǒng)過程，稱為馬爾可夫過程。

馬爾可夫過程的數(shù)學模型表示如下:

設系統(tǒng)的每個階段含有S1， S2， #8943;#8943;， Sn個可能狀態(tài):

1.該系統(tǒng)的初始階段狀態(tài)記為向量π(0)，系統(tǒng)第k階段的狀態(tài)向量記為π(k) ，兩相鄰系統(tǒng)由現(xiàn)有狀態(tài)Si變到Sj的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij (1≤i≤n ，1≤j≤n) ，由pij構成的矩陣稱為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為P，即P=(pij)n ×n ，

P的第i行表示系統(tǒng)現(xiàn)階段處于狀態(tài)Si ，下階段轉(zhuǎn)移到S1，S2，#8943;#8943;，Sn狀態(tài)的概率，所以， ， i=1，2，#8943;，n。這里，不同階段的狀態(tài)向量分別為:π(1) =π(0)P，π(2)=π(1)P，#8943;π(k)=π(k-1)P，k=1，2，#8943;n。

2.假設系統(tǒng)發(fā)展過程狀態(tài)向量π滿足條件: ，則系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。π為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P的不變向量，

記 ，且滿足條件:

(二) 馬爾可夫鏈

有限個馬爾可夫過程的整體稱為馬爾可夫鏈。根據(jù)馬爾可夫鏈的構成，其過程具有如下三個特點:

1.過程的離散性。該系統(tǒng)的發(fā)展，在時間上可離散化為有限或可列個狀態(tài)。

2.過程的隨機性。即該系統(tǒng)內(nèi)部從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個狀態(tài)是隨機的。

3.過程的無后效性。如果系統(tǒng)在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中，它在時刻k所處的狀態(tài)僅與時刻k-1所處的狀態(tài)有關，而與時刻k-1以前所處的狀態(tài)無關，則系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程具有無后效性。

凡是滿足以上三個特點的系統(tǒng)，均可用馬爾可夫鏈研究其過程，預測其未來，并據(jù)此做出決策。

(三)馬爾柯夫分析法的步驟

運用馬爾可夫鏈對事物變化過程進行分析和預測時，一般按以下步驟進行:

1.劃分現(xiàn)象的狀態(tài)并確定相應的狀態(tài)概率;

2.根據(jù)各狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣;

3.由轉(zhuǎn)移概率矩陣推導以后各時間狀態(tài)下的狀態(tài)向量;

4.在穩(wěn)定條件下，進行分析、預測和決策。

二、對應收賬款管理的實例分析

為了說明馬爾柯夫法在應收賬款管理中的應用，我們以下面這個簡化的例子為例進行說明(該例簡化了應收賬款的類型，但不影響方法的運用):A百貨公司將其應收賬款分為兩類:1-90天為一類;91-180天為一類;超過180天的應收賬款視為不可收回的壞賬。A百貨公司現(xiàn)有100000元的應收賬款。其中，70000元屬于1-90天這一類，另外30000元屬于91-180天這一類。現(xiàn)有A百貨公司應收賬款以往的變動記錄如表1所示。

現(xiàn)在我們可以按照以往應收賬款的變動規(guī)律，運用馬爾柯夫法對100000元應收賬款的未來變動情況進行分析和管理。

1.劃分應收賬款的狀態(tài)并確定狀態(tài)概率

以每10天作為時間離散單位，按照以往變動規(guī)律，我們可以將應收賬款分為四種狀態(tài): 已收回的應收賬款、 不可收回的應收賬款、 1-90天的應收賬款和 91-180天的應收賬款。則應收賬款的狀態(tài)空間為 。

狀態(tài)概率是各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性大小，用狀態(tài)向量表示， 為 的概率。此例中應收賬款的初始狀態(tài)向量為 。

2.由表1得到應收賬款的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

矩陣中每一橫行為某一狀態(tài)下各種情況轉(zhuǎn)移的概率。

3.由轉(zhuǎn)移概率矩陣計算以后各時間狀態(tài)下應收賬款的狀態(tài)概率向量

根據(jù)馬爾柯夫過程，不同時間狀態(tài)下的狀態(tài)概率向量由π(k)表示，π(k)=π(k-1)P，因此下一時間狀態(tài)即10天后應收賬款的狀態(tài)概率向量為 按照此狀態(tài)概率向量，我們可以認為100000應收賬款在10天后將有36000元被收回，3000元不可收回成為壞賬，35000元為1-90天這一類的應收賬款，26000元為91-180天的應收賬款。

4.在穩(wěn)定條件下，進行分析和預測

根據(jù)馬爾柯夫過程的性質(zhì)，隨著時間的不斷推移，即k足夠大時，只要狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不變(即穩(wěn)定條件)，則應收賬款的狀態(tài)概率向量趨向于一個穩(wěn)定的值。在本例中，應收賬款的穩(wěn)定情況表現(xiàn)為應收賬款最終被收回和不可收回的可能性。如果狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為一標準概率矩陣(若P為概率矩陣，且存在m>0，使Pm中諸元素皆非負非零，則稱P為標準概率矩陣。)，我們就可根據(jù)馬爾柯夫鏈系統(tǒng)穩(wěn)定條件的方程組，一步到位求出穩(wěn)定狀態(tài)下的狀態(tài)概率向量。即根據(jù) 兩個方程來求出穩(wěn)定狀態(tài)下的狀態(tài)概率向量。但是由于本例中狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不滿足標準概率矩陣的性質(zhì)，無法按上述方法求解，因此我們根據(jù)馬爾柯夫過程的基本思想采用以下方法來求解。

第一步，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣分割為如下四個子矩陣。

其中 。I表示已收回狀態(tài)x1、不可收回狀態(tài)x2向已收回狀態(tài)x1和不可收回狀態(tài)x2轉(zhuǎn)移的概率矩陣，0表示已收回狀態(tài)x1、不可收回狀態(tài)x2向1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4轉(zhuǎn)移的概率矩陣，R表示1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4向已收回狀態(tài)x1、不可收回狀態(tài)x2轉(zhuǎn)移的概率矩陣，Q表示1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4向1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4轉(zhuǎn)移的概率矩陣。

第二步，建立矩陣I-Q，并找出矩陣I-Q的逆矩陣N，計算B=N#8226;R。

按照馬爾柯夫過程的思想，隨著時間的無限推移，應收賬款會一直按照以往規(guī)律轉(zhuǎn)移下去。1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4一方面一直向已收回狀態(tài)x1、不可收回狀態(tài)x2轉(zhuǎn)移，一方面一直向1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4轉(zhuǎn)移，最終所有的應收賬款要么被收回要么不可收回。將所有時間狀態(tài)下1-90天的應收賬款狀態(tài)x3和91-180天的應收賬款狀態(tài)x4的收回或不可收回的轉(zhuǎn)移情況綜合起來，應該為B=R+QR+Q2R+Q3R+…= (I-Q)-1R= N#8226;R。

本例中， ，B中數(shù)據(jù)表明1-90天的應收賬款狀態(tài)x3最終向收回狀態(tài)和不可收回狀態(tài)轉(zhuǎn)移的綜合概率分別為14/15、1/15;91-180天的應收賬款狀態(tài)x4最終向收回狀態(tài)和不可收回狀態(tài)轉(zhuǎn)移的綜合概率分別為5/6、1/6。

第三步，計算穩(wěn)定條件下應收賬款最終被收回和不可收回的可能性。

。

本例中，所有應收賬款最終被收回和不可收回的可能性分別為0.90333和0.09667。因此100000元應收賬款有90333元應收賬款最終被收回，有9667元應收賬款不可收回。

三、結束語

由于應收賬款的變動符合馬爾柯夫過程的“無后效”性，因此用此方法對應收賬款的近期變動進行分析、預測和管理相當有效。但是，這里應注意該方法使用的條件:對初始狀態(tài)向量作假設和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不變。如果忽視此條件，在時間序列上作無限制的模式的外推，可能會導致預測結果與現(xiàn)實變動之間存在較大誤差。要解決這一問題，可根據(jù)實際情況不斷對初始狀態(tài)向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進行相應的調(diào)整，以使其更符合事物客觀發(fā)展的變化趨勢，提高其分析管理的可信度。

主要參考文獻

[1]暴奉賢、陳宏立主編，經(jīng)濟預測與決策方法，暨南大學出版社2005年8月第17次出版，第231頁至第242頁.