運用數學美啟迪解題靈感

〔關鍵詞〕 數學教學;解題;簡潔美;對稱美;

奇異美;和諧美;利用

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)

07(B)—0052—01

一、 簡潔美

簡單就是一種美.所謂簡潔美，就是一個復雜問題的簡單回答.在解題過程中，應當引導學生認真觀察、分析問題，找到問題的本質特征，尋求簡單的解法.

例1 a≥1，求方程■=x 的實根.

解:設y=■，則a=y2-x(y>0)，代入原方程，兩邊平方，整理得

(x+y)(y-x-1)=0，

由已知得x+y≠0，故y=x+1，

即■=x+1，

解得x=■.

二、對稱美

德國教育學家魏爾曾說:美與對稱性緊密相關.對稱是最能給人以美感的一種形式，它是整體中各個部分之間的勻稱和對等.在數學上常常表現為數式或圖形的對稱，命題或結構的對偶或對應.在數學解題的過程中，若能挖掘出問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使復雜的問題變得簡單.

例2計算式子sin10°sin30°sin50°sin70°.

解:設p=sin10°sin30°sin50°sin70°，

q=16 cos10°cos30°cos50°cos70°，

則有 pq=sin20°sin60°sin100°sin140°

=cos70°cos30°cos10°cos50°

=■q.

∵ q≠0，∴ p=■，

即 sin10°sin30°sin50°sin70°=■.

三、奇異美

數學中出人意料的結論和巧妙的解題方法都表現出了一種獨特的奇異美.

例3解方程■+■+2■=35-2x.

分析:顯然按一般方法，將兩邊平方化為有理方程解繁且難，引入輔助元就能化難為易，體現奇異美.

解:設■=A，■=B，則B2-A2=7.

原方程為A+B+2AB=42-(A2+B2)，

即(A+B)2+(A+B)-42=0.

解得A+B=6 ，A+B=-7(舍去)，

則B-A=■，

解得A=■=■，故x=■(驗根略).

四、和諧美

例4 今有1角人民幣1張、5角人民幣1張、1元人民幣4張、5元人民幣2張，用這8張人民幣任意付款，可以付出多少種不同數額的款?

分析:本題如直接枚舉，情況復雜，很難求出正確答案.若把問題統一到求付款的數額范圍，問題一下子變得簡單了.在此范圍內，再考慮哪些是付不出的數額，將其減去，剩下的就是題目要求的.

解:易知付款的最小數額為1角，最大數額為14.8元，其間若1個不空，共可付出148種數額.另外，4角、9角這兩種數額是題目所給的人民幣無法付出的，故1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元……14.4元，這些數額也無法付出.上述這些付不出的數額共29種，所以能付出的數額應是148-29=119種.