培養學生發散思維的三條途徑

〔關鍵詞〕 數學教學;發散思維;培養;正難則反;數

形結合;一題多解

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)11(B)—0049—01

一、 利用正難則反的思想，培養學生的發散思維

正難則反的思維策略，提供了思維發散的一種途徑——逆向思維.有些數學問題按照常規的思維方法很難解決，這時就可以選擇正難則反的策略:順推不行則逆推，直接不行就間接，正命題研究過后研究逆命題，探討可能性發生困難時，考慮探討不可能性.

例1 設一年有365天，某班共有50人，求其中至少有兩人生日相同的概率.

解析:從正面考慮“至少有兩人生日相同”的情況很復雜，計算量大，容易算錯.若從反面考慮，則可以化難為易，化繁為簡. “至少有兩人生日相同”的反面就是50個人的生日全不相同，故可以先算50個人的生日全不相同的概率P，則至少有兩人生日相同的概率就為1-P . 一年有365天，則50人的生日有365■種情況.如果50人的生日全不相同，則有A■■種情況，故50人生日全不相同的概率為P =■≈0.03 .因此，至少有兩人生日相同的概率1-P =1-0.03=0.97 .

二、利用數形結合的思想，培養學生的發散思維

所謂數形結合的思想，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想.涉及以下內容時可選用數形結合的思想:①實數與數軸上的點的對應關系;②函數與函數的圖象的對應關系;③曲線與方程的對應關系;④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等;⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.以形輔數，可以使一些看似難以入手的數學問題，借助圖形的直觀性，找出解題捷徑.因此，教師應充分認識數形結合思想的重要性，引導學生利用它解決問題，從而使學生的發散思維能力得到發展.

例2 使不等式log2(-x)

解析:這個不等式的左邊是關于x的對數式，右邊是關于x的一次函數式，用代數方法很難解出x的取值范圍.這時，可以運用數形結合的思想， 巧妙地將代數問題轉化為幾何問題 .分別作函數y=log2(-x)和y=x+1的圖象(如右圖)，將原問題轉化為求曲線y=log2(-x)在曲線y=x+1下方部分的橫坐標x的取值范圍.從圖象上很直觀地看出x的取值范圍是(-1，0)，故使不等式log2(-x)

三、 通過一題多解的訓練，培養學生的發散思維

一題多解往往能激發學生濃厚的學習興趣，調動學生學習的積極性.因此，教師在平時應多提供一些有多種解法的問題，這樣有利于學生發散思維的培養.

例3 已知圓M:(x-3)2+(y-4)2=4和直線l:kx-y-4k+3=0.求證:不論k取何值，直線和圓總相交.

解析:方法1 將問題轉換為:不論k取何值，方程組(x-3)2+(y-4)2=4kx-y-4k+3=0總有實數解.

方法2 利用直線和圓相交的充要條件:圓心到直線的距離小于圓的半徑，將原問題轉化為:求關于k的不等式■<2的解集，即不等式■<2的解集.

方法3 將直線方程變為y-3=k(x-4)，發現本題的隱含條件:直線經過定點(4，3)，而圓心坐標是(3，4)，圓的半徑是2，因此點(4，3)在圓M內，所以不論k取何值，直線l和圓M總相交.

總之，培養學生的發散思維能力的途徑有很多，如開放性問題的教學，觀察、聯想問題的教學，歸納、類比問題的教學，等等.由于發散思維能力是創新人才必備的基本能力，因此，培養學生的發散思維能力就成為教師當前的一個重要課題，它是長期的、復雜的工程，需要廣大教師不斷實踐和探索.