反彈琵琶出新意 逆向思維尋妙解

〔關鍵詞〕 數學教學;逆向思維;培養

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)11(B)—0046—01

中學教育的一個重要任務，就是運用科學的方法培養學生的創新意識、創新精神、創新思維和創新能力.逆向思維是創新思維的一個重要方面.許多新穎的數學題，若用常規思維方法求解，會比較繁瑣，甚至無法求解.若逆向思維，會豁然開朗，從而獲得美妙的解答.那么，如何培養學生的逆向思維呢?

一、逐步培養學生逆向思維的意識

剛升入初中的學生常常會對公式、定義、法則、定理等進行機械套用，為幫助學生打破思維定勢，宜早期進行逆向思維的滲透，由淺入深，潛移默化.教材中的許多運算都是互逆的.如，加與減、乘與除、代數式的乘法與代數式的因式分解、乘方與開方等.因此，在教學時，教師應抓住所有契機，采用各種教學手段，逐步培養學生逆向思維的意識.

如，乘法的分配率“a(b+c)=ab+ac”，掌握從左向右運用的基礎上，再學習從右向左的運用.如，計算“(-51)×78+(-51)×(-8)”，逆用乘法的分配率，原式可化為(-51)×(78-8)，從而簡化計算過程.這樣教學，學生不僅加深了對乘法分配率的理解，還逐步對逆向思維有所認識.

又如，學習“分式的性質”時，學生對■±■=■易理解和掌握，卻忽視了它的逆運算，只會“并”而不會“拆”，導致陷入繁瑣的計算之中.若掌握了逆用，就會輕松解決問題.比如，計算“■+■+……+■”，就可以逆用分式的性質，進行拆項.

■+■+……+■

=■(1-■+■-■+……-■)

=■(1-■)

=■.

二、抓住至關重要的關鍵點，學會針對什么而逆

1.針對題目的條件而逆

題目的條件是不能更改的，但可引導學生采取“變過去再變回來”的方法，即考慮在原題條件相反的情形下求解，再取所求結果的反面，便得到所求的結果.如，關于x的3個方程x2+4Rx-4R+3=0;x2-(R-1)x+R2=0;x2+2Rx-2R=0中至少有一個存在實根，求R的取值范圍.若按常規思路，求3個方程至少有一個有實根，包括7種情況，分別討論顯然費時費事，而條件“至少一個存在實根”的反面是“無一個方程有實根”，在反面條件下求R的取值范圍簡單多了.

2.針對題目的結論而逆

針對題目的結論而逆即產生了反證法，反證法是由于逆向思維而導致的一種有效的證題方法，是通過論證“結論的反面是錯誤的”從而肯定“結論本身正確”，課本上專門進行了講解，故不舉例.

3.針對推理步驟而逆

(1) 逆用公式

公式本身是雙向的，應該意識到逆用公式是解決問題的重要方法之一.如，已知xa=5， xb=10，求x2a-b的值.逆用公式求解，x2a-b=x2a÷xb(逆用同底數冪的除法)=(xa)2÷xb(逆用冪的乘法)=52÷10=2.5 .

(2) 針對常規方法而逆

司馬光“砸缸救人”的故事至今婦孺皆知，眾小孩的思路是常規方法，想把落水者從缸中拉出，使人離水，而司馬光的方法和常規方法相逆，即想辦法使水離開人。數學中也不乏此類例子.如，100人站成一橫排自1起報數，報偶數者留下，報奇數者離開.如此繼續下去，問最后留下的一個人開始報的數是幾?若按常規方法，第一輪報數后，劃掉淘汰者，第二輪報數后，再劃掉淘汰者，如此這樣下去會非常麻煩.現逆向思維，留下者最后一輪報數必是2.倒數第二輪報的數是4=22，倒數第三輪報的數是8=23……于是極易得出結論:最后留下的那個人第一輪報的數是64.