函數知識在數列中的應用

〔關鍵詞〕 函數知識;數列;求解;應用

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)11(B)—0051—01

在高中數學教學中，如果能把各個知識板塊相互交叉、滲透，往往會讓人耳目一新，在開拓思維的同時不但會加深對知識的理解，而且會提高解題的速度.函數與數列就是其中一例，教材中從兩個角度對數列給出了定義，一是描述性定義:數列是按照一定順序排列著的一列數;二是函數性定義:數列是一類定義在整數集或它的有限子集上的一種特殊函數.由此可見，任何數列問題都具有函數的性質以及函數的一些固有特征.因此，在教學中，教師要引導學生充分利用函數的概念、圖象、性質去揭示它們之間的內在聯系，從而更有效、更快捷地解決數列問題.

1.一次函數的性質在數列中的應用

在“等差數列的通項公式”的教學中，教師主要是引導學生用常規的方法(通項公式法)求一些與數列有關的量.此外，由于等差數列{an}的通項公式為n=a1+(n-1)d(n∈R)，an可以看作n的一次函數，它的圖象是一次函數圖象上的離散點，所有表示(n ，an)的點都在同一條直線上.

例1 (1)求等差數列8，5，2……的第20項;

(2)-401是不是等差數列-9，-5，-1……的項?如果是，是第幾項?

解:(1)因為(1，8)、(2，5)、(20，a20)是同一條直線上的點，所以■=■，解得a20=-49.

(2)略.

小結:以上問題的常規解法是通過解方程組求出特征參數，之后再代入公式求解，計算較為繁雜.這里我們從函數的角度觀察這些問題，得出了新的解法，這些解法新穎、簡單，學生很容易接受，同時還揭示了等差、等比數列特性的另一面.

2. 二次函數的性質在數列中的應用

等差數列{an}的前n項和Sn=na1+■d=■n2+■n，令A=■，B=■(a1是首項，d是公差).當公差d≠0時，Sn=An2+Bn，可以看成是關于n的一元二次函數，其圖象是過點(0，0)且對稱軸在S軸右側的拋物線，開口方向取決于d的符號.而點(1，S1)、(2，S2)、(3，S3)……(n，Sn)是其圖象上的一些孤立點.利用一元二次函數圖象及其性質解決一些與等差數列前n項和相關的問題可以大大簡化計算過程.

例2 在等差數列{an}中，已知a1=25，S17=S9，求n為第幾項時Sn取得最大值.

分析:根據已知條件可得d<0，再由二次函數圖象的性質可知Sn的圖象開口向下，又S17=S9，故關于n的二次函數的對稱軸是n=13，所以當n=13時，Sn最大.

3.導數在數列中的應用

導數，作為高中數學的新增內容之一，為解題教學和教學研究注入了新的活力，更是解決函數單調性問題的有力工具.由于數列可看作是特殊的函數，所以對形式為某一函數的導數的數列，可以通過構造該導數的原函數，然后用導數法求解問題.

例3 已知函數f(x)=x2+x-1，α，β是方程f(x)的兩個根(α>β)，f ′(x)是f(x)的導數，設a1=1，an+1=an-■ (n=1，2……).

(1)求α，β的值;

(2)證明:對任意的正整數n，都有an>α.

解析:(1)∵f(x)=x2+x+1，α，β是方程f(x)=0的兩個根(α>β)， ∴ α=■ ， β=■;

(2) f′(x)=2x+1， an+1=an-■= an-■=■(2a■+1)+■-■.∵ a1=1， ∴有基本不等式可知a2>■.

∴a3>■，a4>■，……，an>■>?琢(n=1，2……).

∴對任意的正整數n ，都有an>?琢.