巧思妙想

數(shù)學(xué)學(xué)科歷來(lái)是學(xué)生學(xué)習(xí)投入多和學(xué)習(xí)成績(jī)低下情況較為嚴(yán)重的學(xué)科之一。對(duì)于職業(yè)中學(xué)的部分學(xué)生尤其如此，他們往往在小學(xué)開(kāi)始學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)成績(jī)還可以，到初中時(shí)已經(jīng)稍感吃力，到了高中已是不堪重負(fù)，甚至厭惡數(shù)學(xué)。造成這種現(xiàn)象的原因除了學(xué)生自身的智力因素以外，而其中沒(méi)有掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法是主要原因。

數(shù)學(xué)技能的形成與能力培養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題。有效地培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題的能力，除了做好審題，制訂解題方案，解答表達(dá)等工作外，解題后的反思也是一個(gè)不可缺少的重要環(huán)節(jié)。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”。解題本身不是學(xué)習(xí)的目的，而只是一種訓(xùn)練手段。進(jìn)行解題后的小結(jié)或反思，會(huì)有益于我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成技能技巧，從而把解題真正變成一種強(qiáng)有力的訓(xùn)練手段。

由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制，經(jīng)常表現(xiàn)出:一些學(xué)生對(duì)知識(shí)不求甚解，熱衷于做大量題，不善于解題后對(duì)題目進(jìn)行反思，普遍欠缺一個(gè)提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，也不善于糾正和找出自己的錯(cuò)誤;也有一些學(xué)生即使想反思，也不知如何反思或反思的層面很淺，缺乏解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，掌握知識(shí)的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差。由于上述現(xiàn)象逐步造成了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)不好、失去學(xué)習(xí)興趣、甚至厭煩數(shù)學(xué)、最后不學(xué)數(shù)學(xué)。所以缺乏解題后的反思是形成職高生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀的主要原因之一。為此筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐對(duì)解題后的反思、以及如何“巧思妙想”談一些膚淺的認(rèn)識(shí)。

在經(jīng)過(guò)一番艱辛，苦思冥想解出一道數(shù)學(xué)題答案后，必須認(rèn)真進(jìn)行如下反思:

一、解題后要“巧思”

命題的意圖是什么?考核的概念、知識(shí)和能力是什么?驗(yàn)證解題結(jié)論是否正確，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備?求解論證過(guò)程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善?本題有無(wú)其他解法一題多解?多題一解?

1.一思解題過(guò)程，查缺補(bǔ)漏

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題思路不正確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證?？墒且恍┩瑢W(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬(wàn)事大吉，頭也不回，揚(yáng)長(zhǎng)而去。由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引起重視，加以克制，引以為戒。如:(1)結(jié)論荒唐，成為笑柄。(2) 以特殊代替一般;(3) 臆造“定理”，判斷無(wú)據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。以上常見(jiàn)的錯(cuò)誤，不勝枚舉。通過(guò)上述反思可以明確概念、掌握知識(shí)點(diǎn)、熟悉考點(diǎn)、清晰思維、提高數(shù)學(xué)解題的正確性、合理性。

2.二思解題方法，探求一題多解和多題一解

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系、縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多樣，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊路同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優(yōu)、最簡(jiǎn)捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負(fù)。應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解、多題一解的問(wèn)題，開(kāi)拓思路，溝通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法可能用到不同章節(jié)的知識(shí)，這樣以來(lái)可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，掌握不同解法技巧，同時(shí)每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對(duì)這一道題哪一種最簡(jiǎn)捷，最合理?

例1:求證:(探索一題多解)

把本題的每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，同時(shí)既可看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路:從左到右、從右到左、中間會(huì)師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問(wèn)題，便可以不變應(yīng)萬(wàn)變，問(wèn)題自然迎刃而解，這對(duì)提高數(shù)學(xué)解題能力尤其重要。

二、解題后要“妙想”

1.一想此題能否使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化

在問(wèn)題解決之后，要不斷地反思:解題過(guò)程是否浪費(fèi)了重要信息，能否開(kāi)辟新的解題通道?解題過(guò)程多走了哪些思維思路，思維、運(yùn)算能否變得更簡(jiǎn)捷?是否拘泥于思維定勢(shì)，照搬了熟悉的解法?還有沒(méi)有方法上的創(chuàng)新?通過(guò)這樣不斷地質(zhì)疑、不斷改進(jìn)，讓解題過(guò)程更具有合理性、科學(xué)性、簡(jiǎn)捷性。

例2:求證:正四面體和正八面體相鄰兩側(cè)所成的二面角互補(bǔ)。

此題有常規(guī)的解題思路:分別求出兩個(gè)多面體的二面角的值，再求和。這也是一般參考書(shū)上的解法。探索解題過(guò)程，總感覺(jué)這樣解題比較笨拙，缺少靈氣!不能反映兩個(gè)多面體的巧妙結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，問(wèn)題隱含了“結(jié)構(gòu)”這個(gè)重要信息，那么，能否把“結(jié)構(gòu)”作為切入點(diǎn)去探究問(wèn)題呢?

2.二想此題能否把知識(shí)進(jìn)行遷移和應(yīng)用，探究問(wèn)題所含的系統(tǒng)性

解題后，要不斷地解決探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究?能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系?把問(wèn)題所蘊(yùn)含的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過(guò)不斷地拓展、聯(lián)系、加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)的系統(tǒng)性 。對(duì)每個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底，能否得到一般性的結(jié)論，有無(wú)規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)?能否形成獨(dú)到的見(jiàn)解，有自己的小發(fā)明?點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。長(zhǎng)期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量。

3.三想此題能否整合知識(shí)、創(chuàng)新設(shè)問(wèn)

要讓學(xué)生明白，問(wèn)題與問(wèn)題之間不是孤立的，許多表面上看似無(wú)關(guān)的問(wèn)題卻有著內(nèi)在聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問(wèn)題與問(wèn)題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問(wèn)題?它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系?能否受這個(gè)問(wèn)題啟發(fā)?將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造性設(shè)問(wèn)?讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來(lái)的樂(lè)趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維是非常有利的。

同一類型的問(wèn)題，解題方法往往有其規(guī)律性，因此當(dāng)一個(gè)問(wèn)題解決后，要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生反思解題方法，認(rèn)真總結(jié)解題規(guī)律，力圖從解決問(wèn)題中找出新的普遍適用的東西，以現(xiàn)在解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)幫助今后類似問(wèn)題的解決，提高學(xué)生的解題效率。通過(guò)解題后反思改進(jìn)解題過(guò)程、探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔，“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚(yú)翔淺底”。這是解題過(guò)程中更高一級(jí)的思維活動(dòng)。為了讓學(xué)生思維繼續(xù)飛翔，提高數(shù)學(xué)解題能力，在教學(xué)中應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行有效的解題反思。

總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生“巧思妙想”，不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，可以讓學(xué)生體會(huì)解題帶來(lái)的快樂(lè)，享受探究帶來(lái)的成就感，始終保持學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情。常此以往，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，從而有效地培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

(作者單位:江蘇省銅山縣職業(yè)教育中心)