“平移公式”應用之我見

〔關鍵詞〕 高中數學;平移公式;函數;解析

式;向量

〔中圖分類號〕 G633.65

〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)

06(A)—0045—01

本文就高中數學(必修)第一冊(下)(人教版)中平移公式的應用，談談本人在教學中的體會，以供同行參考.

課本在利用平移公式求函數解析式的例2、例3中，重點介紹了根據平移向量，利用平移公式求出函數的解析式y′=f(x′)，然后改寫成y=f(x)這種解法.用這種方法在解答有關習題時過程較繁瑣，學生分不清y′=f(x′)與y=f(x)這兩種寫法，容易出現錯誤.在教學實踐中，本人嘗試用函數圖象的平移思想解決本節有關習題和高考題，并取得了較好的教學效果.

引理:函數y=f(x)的圖象按向量■=(h，k)平移，就是把函數y=f(x)的圖象先沿x軸向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|個單位，再沿y軸向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位，從而得到函數的解析式為f(x)=f(x-h)+k.

例1:(課本例3)已知拋物線y=x2+4x+7，①求拋物頂點的坐標;②將這條拋物線平移到頂點與坐標原點重合時的函數解析式.

解:①設拋物線y=x2+4x+7的頂點為O′.

∵ y=x2+4x+7=(x+2)2+3，

∴拋物線y=x2+4x+7的頂點O′的坐標為(-2，3).

②根據題意知，平移向量為■=■=(2，-3)，即把y=x2+4x+7的圖象先沿x軸向右平移2個單位，再沿y軸向下平移3個單位后，頂點與坐標原點重合.從而所求函數的解析式為y=(x+2-2)2+3-3=x2， 即y=x2.

例2:(課本習題第5題)函數y=log3x的圖象F按■=(1，-1)平移到F′，求F′的函數解析式.

解:根據題意知，把函數y=log3x的圖象F沿x軸向右平移1個單位，再沿y軸向下平移1個單位可得F′，從而F′的函數解析式為y=log3(x-1)-1.

例3:(課本習題第6題)一個函數的圖象按■(-■，-2)平移后得到的圖象的函數解析式為y=sin(x+■)-2，求原來函數的解析式.

解:由題意可知，把函數y=sin(x+■)-2的圖象按向量■=-■=(■，2)平移(即把函數y=sin(x+■)-2的圖象沿x軸向右平移■個單位，再沿y軸向上平移2個單位)后，得到原來函數的圖象.從而原來函數的解析式為y=sin(x+■-■)-2+2=sinx，即y=sinx.

例4:(2007年全國高考題(Ⅱ)(理科))把函數y=ex的圖象按向量■=(2，3)平移，得到y=f(x)的圖象，則f(x)= ().

(A)ex-3+2 (B)ex+3-2

(C)ex-2+3 (D)ex+2-3

解:由題意可得，把函數y=ex的圖象沿x軸向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到f(x)的圖象，即f(x)=ex-2+3，故選C.

例5:(2008年遼寧高考題(理科))將函數y=2x+1的圖象按向量■平移后得到函數y=2x+1的圖象，則( ).

(A)■=(-1，-1)(B)■=(1，-1)

(C)■=(1，1) (D)■=(-1，1)

解:由題意可得，把函數y=2x+1的圖象沿x軸向左平移1個單位，再沿y軸向下平移1個單位，可得到函數y=2x+1的圖象，從而可得■=(-1，-1)，故選A.

例6:(2009年全國高考題(Ⅱ))若函數y=tan(ωx+■)(ω>0)的圖象向右平移■個單位長度后，與函數y=tan(ωx+■)的圖象重合，則ω的最小值為( ).

(A)■ (B)■ (C)■ (D)■

解:由題意可得，把函數y=tan(ωx+■)(ω>0)的圖象向右平移■個單位長度，可得到函數y=tan[ω(x-■)+■]=tan[ωx+(■-■π)]的圖象，它與函數y=tan(ωx+■)的圖象重合. 則tan[ωx+(■-■π)]=tan(ωx+■)，即■-■π=■+kπ(k∈Z)，即ω=■-6k(k∈Z).從而 當k=0時，ω的最小值為■，故選D.