有關過拋物線焦點弦長問題的定理及推論

〔關鍵詞〕 拋物線;焦點;弦長;定理;推論

〔中圖分類號〕 G633.65〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)06(A)—0046—01

題目:已知過拋物線y2=4x的焦點的一條直線y=x-1與此拋物線交于A，B兩點，求|AB|的長.

解:聯立拋物線與直線的方程y2=4x，y=x-1，消去y得，x2-6x+1=0，解之得x1=3+4■，x2=3-4■.由此得A，B兩點的坐標分別為A(3+4■，2 + 4■)，B(3-4■，2-4■)，由兩點間的距離公式得，|AB|=8.

上述題目的解法比較煩瑣，如果題目比較復雜時，此解法很難完成.為此，下面給出兩個有關過拋物線焦點弦長問題的定理及推論.

定理1:若過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線l交拋物線于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1+x2+p.

證明:方法1:(1)當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=■，即|AB|=|y1-y2|=2p=p+p=x1+x2+p;

(2)當直線l與x軸不垂直時，設直線的斜率為k，直線的方程為y=k(x-■)，聯立拋物線與直線的方程y2=2px，y=k(x-■)，消去y得，k2x2-(k2p+2p)x+■=0，x1+x2=■，x1x2=■，|AB|=■·■=■ ·■=■·■=■=■=x1+x2+p.

方法2:設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義，得A，B兩點到焦點F的距離等于它們到準線的距離，因為A點到準線的距離為x1+■，B點到準線的距離為x2+■，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+■+x2+■=x1+x2+p.

定理2:過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于兩點A，B，若直線AB的傾斜角為?茲，則

|AB|=■.

證明:如右圖所示，過點A，B作x軸的垂線分別交x軸于M，N兩點.由拋物線的定義，得|AF|=|CM|，|BF|=|CN|，|MF|=|CM|-p=|AF|-p，|NF|=p-|CN|=p-|BF|. 即|AF|=■，|BF|=■ .所以■+■=■=■，■=■.由|AF|·|BF|=■ ·■=■ ，得|AB|=|AF|·|BF|·■=■.

推論:若過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于兩點A，B，則|AB|的最小值為2p.

證明:方法一:由定理1，得|AB|=x1+x2+p.

(1)當直線l與x軸垂直時，|AB|=x1+x2+p=■+■+p=2p;

(2)當直線l與x軸不垂直時，設直線的傾斜角為?茲，即直線的方程為y=tan?茲(x-■)，聯立y=tan?茲(x-■)，y2=2px，得tan2?茲x2-(ptan2?茲+2p)x+■tan2?茲=0，由韋達定理得x1+x2=■=■=■=p■=p(■-1). ∵ sin2?茲的最大值為1，∴x1+x2的最小值為p，即|AB|的最小值為2p.

方法二:由定理2的結論得|AB|=■.∵0