兩個三角換元公式的應(yīng)用舉例

〔關(guān)鍵詞〕 三角函數(shù);換元公式;方程;不等式;參變量

〔中圖分類號〕 G633.64 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)06(A)—0044—01

三角函數(shù)的題目內(nèi)容廣泛、復雜，包括求值、化簡、證明恒等式、求最值、求值域、解方程、解不等式以及求參變量的范圍等.但一部分復雜題目應(yīng)用下面的三角和積換元、三角差積換元公式，可以將三角式化為代數(shù)式，可達到三角和代數(shù)的轉(zhuǎn)化溝通，優(yōu)化解題過程的目的.

公式一:三角和積換元公式

sinα+cosα=t，sinα·cosα=■(t2-1)(t≤■).

公式二:三角差積換元公式

sinα-cosα=t，sinα·cosα=■(t2-1)(t≤■).

巧解含三角的方程

在解三角方程時，要善于進行結(jié)構(gòu)式探究，從題目結(jié)構(gòu)特點觀察，采用類比方法，盡可能將三角問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程去解決，從而培養(yǎng)學生巧妙用三角代換進行代數(shù)轉(zhuǎn)化的思維.

例1:解方程1g[4sinxcosx-(2+■)(sinx+cosx)+(3+■)]=0.

解:應(yīng)用公式一，去底化簡得:

2t2-(2+■)t+■=0，∴ t=1或t=■.

即sinx+cosx=1①或sinx+cosx=■②.

由①得:x=kπ±■-■(k∈Z)，

由②得:x=kπ±■-■(k∈Z).

所以原方程的解集為:{x|x= kπ±■-■或x=kπ±■-■，k∈Z}.

巧解三角不等式

在解復雜的一些三角不等式時，要善于進行發(fā)現(xiàn)式探究，發(fā)現(xiàn)模型并尋求合理的三角代換，盡量將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，分步討論去解決.

例2:對一切實數(shù)x不等式1g[■-■-sinθ+2]>0恒成立，試求θ的取值范圍.

解:∵x2-x+1>0，∴原不等式可化為:

(cosθ- sinθ+1)x2-(cosθ- sinθ-4)x+(cosθ- sinθ+4)>0.

由公式二可得:(t-1)x2-(t+4)x+(t-4) <0，

①當t=1時，x>-■與x是一切實數(shù)相矛盾;

②當t≠1時，由t-1<0，△=(t+4)2-4(t-1)(t-4)<0|t|≤■，，

得:-■≤t<0，即:-■≤sinθ- cosθ<0.

所以，2kπ-■<θ<2kπ+■.

巧求參變量范圍

在求解一些難度較大的含參變量題目時，應(yīng)發(fā)掘?qū)W生的簡化意識，把握問題轉(zhuǎn)化的契機，及時進行代換化簡，減少計算量，加快解題速度，從而提高學生的解題能力.

例3:若函數(shù)y=■對一切實數(shù)x恒成立 ，求實數(shù)k的取值范圍.

解:由公式得:

■=■，

依題意只需滿足f(t) = t2-(k-4)t+k-1≥0在[-■，■]上恒成立.現(xiàn)討論如下:

①若△=(k-4)2-4(k-1)≤0，得:2≤k≤10;

②若△>0 ，■≤-■， f(-■) ≥0 ， 得:無解;

③若△>0， ■≥-■， f(■) ≥0，得:10

綜上所述得:2≤k≤9+5■.

結(jié)論:本文中僅舉了解三角函數(shù)的方程、解不等式、求參變量范圍等難度大、綜合性強的題目，實際上還有一部分求值、化簡、證明恒等式、求最值、求值域的題目，都可通過三角和積、差積換元公式，轉(zhuǎn)化成特定區(qū)間[-■，■]上的代數(shù)問題，如:一元二次函數(shù)的方程，一元二次函數(shù)的值域問題，再利用分類討論，使問題簡捷、明快、易解.