從一道立體幾何習題談起

在處理人教版高中教材第二冊復習題九B組第7題時，我發現大多數學生在獨立完成時比較困難，沒有完整地分析出此題的解題思路，即存在的所有可能性。而此題的分析思路可以聯系到此類問題，本文試就這個問題作一些簡略的探討。

一、 講解習題，引導學生領會解決問題的思想

例1:P、A、B、C是球面上四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1， 求球的體積與表面積。解析:確定球心的位置。如圖1，球0的球心0點根據題意可知在PP′所在的直線上，( P′是P在底面ABC中的射影點)。分類討論:① 0正好與P′重合，②O在直線PP′上， ③ O在直線P′P1上。解得:v=仔，

S球面=3?仔。此題可有利于培養學生的空間概念、空間想象能力和邏輯思維能力。

二、 課后練習，引導學生全面分析問題，最終解決問題

例2:(2007年甘肅省高考測試卷)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為4，側棱長為1，過BC的截面與底面成30°的二面角，則截面的面積等于()。解析:如圖2所示，設截面與側棱AA1所在直線交于D點，取BC中點E，聯結AE、DE。∵△ABC是等邊三角形，∴AE⊥BC。∵ A1A⊥平面ABC，∴DE⊥BC。∴∠DEA為截面與底面所成二面角的平面角，∴∠DEA=30°，∵等邊△ABC邊長為4，∴AE=2。在 Rt△DAE中，DA=AEtanDAE=2，所以D在AA1的延長線上，如圖所示，截面為梯形BCMN。∵AD=2，AA1=1，∴MN是DBC的中位線，∴S梯形BCMN=S△DBC=×8=6。例3:已知ABC—A1B1C1是正棱柱，過底面一邊BC與側棱AA1上的一點所做的三棱柱的截面中，面積的最大值是2，與底面所成的二面角的最大值是，則該三棱柱的體積等于():A、，B、3，C、3，D、6。解析:如圖3，設正三棱柱的底面邊長為a，側棱長為b，由于過底面一邊BC與側棱AA1上一點所作的三棱柱的截面都是等腰三角形，若取BC的中點為D，聯結A1D，則A1D⊥BC。因此，當截面面積最大時，截面應為A1BC，截面與底面所成的二面角最大值，截面也是A1BC，于是:a=2tan=解得:a=2，b=3。所以，三棱柱的體積V=a2b=×4×3=3。以上兩例體現了解立體幾何問題時，要有空間想象能力、分析問題能力。

三、 分析練習，引導學生靈活運用解題思想解決問題

下面，運用傳統方法和向量方法分別介紹此類題目的解法，以期提高同學們的解題技巧與思維品質。

例4:如圖4，在多面體ABCDE中，△ABC為正三角形，四邊形ACED為梯形，AD∥CE，AD⊥AC，AD=AC=2CE=2，BD=2。求證:平面ACED⊥平面ABC，求平面DBE與平面ABC所成的二面角(銳角)的大小。解析:(1)如圖4，△ABD中AB=AD=2， BD=2，∴AD⊥AB。∵AD⊥AC，又AC∩AB=A，∴AD⊥平面ABC，又∵AD?奐平面ACED，∴平面ACED⊥平面ABC。(2)方法1:延長DE、AC交于P，聯結BP，則BP是平面ABC與平面BDE的交線(如圖5)。∵CE∥AD，CE=AD，∴C為AC中點，且PC=AC=BC，∴△ABP為直角三角形，∠PBA=90°，且AB⊥BP，又∵AD⊥平面ABC，∴BD⊥BP。∴∠DBA是平面DBE與平面ABC所成的二面角的平面角，故平面DBE與平面ABC所成角為45°。方法2:令AC的中點為O，以AC所在的邊為x軸，OB所在的直線為Z軸，建立如圖6的空間直角坐標系。平面BED中，B(0，0， )、E(1，1，0)、D(-1，2，0)，得 =(-2，1，0)，=(-1，-1， )，令=(x，y，1)為平面DBE的法向量，則由 ·=0，·=0得=( ，，1)。平面ABC內，B(0，0，)、A(-1，0，0，)、D(1，0，0，)，得= (1，0， )。=(2，0，0，)，顯然=(0，1，0)為平面ABC的法向量。所以，平面DBE與平面ABC所成二面角的平面角?茲滿足:cos?茲=，所以?茲=。

例5:(甘肅省2007年第一次高考診斷試題)四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=。(1)求證:BC⊥SC，(2)求面ASD與面BSC所成二面角的大小。解法:(1)方法1:∵SD⊥底面ABCD， ∴CD是CS在平面ABCD內的射影，又∵ BC⊥CD，∴BC⊥SC。方法2:建立空間直角坐標系 D—ACS，則B(1，1，0)，C(0，1，0)，=(-1，0，0)，聯結BD，則在直角SDB中，SD=1， ∴ S(0，0，1)， =(0，1，-1)，∵·=0，∴ ⊥，∴ BC⊥SC。(2)方法1:平面ASD的一個法向量=(0，1，0)，設平面BSC的一個法向量2=(x，y，z)， ∵2⊥， 2⊥，∴-x=0，y-z=0，令y=1，則2=(0，1，1)。設1與2的夾角為?茁，則cos?茁=。由圖形得，面ASD與面BSC所成二面角的大小為。方法2:由(1)知，∠SCD為平面SCB與平面ABCD所成的角且為45°，將平面ASD平移得到平面S′BC，顯然平面S′BC與平面SBC所成的角為45°，從而所求角為45°。方法3:過S作SA′∥DA，則SA′在平面SAD中，由(1)知， ∠CSD為平面SCB與平面SDA所成的角。

以上例題體現了用向量解決立體任何問題時，解法思路清晰，巧妙簡捷。評析:課本上每道習題都是編者精選的，作為教師應深挖每道題，從知識上、思想上、方法上，多角度、多層次地深挖。學生的學習層次的提高，思維的發展離不開做題，但“題海戰術”是低效的，深挖一道題，注意多角度演繹，可以高效地鞏固基礎知識和方法，溝通不同知識之間縱向橫向聯系，開拓思想和視野，起到事半功倍的效果。對面臨高考在有限時間內進行復習的高三學生，這樣的學習更有意義。

(通渭縣第二中學)