借助推論與模型快速解答立體幾何高考題

〔關鍵詞〕 立體幾何;高考題;推論;模型

〔中圖分類號〕 G633.63〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463(2010)04(A)—0052—01

一、常用推論:

1. 如圖1所示，在四面體P-ABC中，設頂點P在底面ABC上的射影為O.

①若PA=PB=PC或PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，則O為底面ABC的外心.(對于正棱錐而言，則O為底面的中心).

②若PA⊥BC，PB⊥AC，則O為底面ABC的垂心，同時也有PC⊥AB(即四面體中若有兩組對棱相互垂直，則任何頂點在與之相對面上的射影都是該面三角形的垂心，且第三組對棱也相互垂直).特殊地，若PA、PB、PC兩兩垂直，也有一樣的結論.

③若O在△ABC的內部，且P到△ABC的三邊的距離相等或側面PAB、PBC、PAC與底面所成的二面角相等，則O為底面△ABC的內心.在運用這個結論時需注意:若沒有O在△ABC的內部這一限制，則O還可能是△ABC的旁心.

2. 如圖2所示，設∠BAC在平面?琢內，點P?埸?琢，若PAB=PAC(或P到BAC的兩邊AB、AC的距離相等)，則點P在平面?琢內的射影O在∠BAC的平分線所在的直線上.

3. 若兩個平面垂直，則其中一個面內的任意一條直線在另一個平面上的射影必在兩個平面的交線上.(這個結論有助于我們去尋找一條直線與一個平面所成的角，倘若這條直線在一個與這個平面垂直的平面內，則它與兩個平面的交線所成的角就是直線和平面所成的角)

4. 直線和平面所成的角是直線和平面內所有直線所成角中的最小角.

二、常用模型

1. 如圖3所示，設二面角?琢-l-?茁的大小為?茲，A、B∈l，AC?奐?琢，BD?奐?茁，AC⊥l，BD⊥l，且AB=d，AC=m，BD=n.這是一個包含二面角的平面角、兩條異面直線的公垂線(距離)、其上任意兩點間的距離等諸多條件的模型.

作AE∥BD，連接DE，則由題意知:四邊形ABDE為矩形，則∠CAE為二面角?琢-l-?茁的平面角，AB、CD所成的角為∠CDE.由余弦定理得:CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=m2+n2-2mncos?茲，所以CD=■=■，且異面直線AB、CD所成角∠CDE的余弦為cos∠CDE=■=■.

這個模型告訴我們:若兩條異面直線分別在一個二面角的兩個面內且都和二面角的棱垂直，則可以很方便地求出它們上面任意兩定點間的距離以及這兩點的連線與二面角的棱所成的角.若反過來考慮，還可在知道兩條異面直線上兩點間距離的條件下，求出二面角的平面角(利用公式CD=■=■);另外，在這個模型中，還存在線面的垂直和面面的垂直(DE⊥平面CAE，平面CDE⊥平面CAE).

2. 如圖4所示，設二面角A-BC-D的大小為?茲，作AO⊥平面BCD于O，作OE⊥BC于E，連接AE，則由三垂線定理知AE⊥BC，所以∠AEO是二面角A-BC-D的平面角.

在立體幾何中，二面角通常采用本模型的形式敘述，即用兩個共邊的三角形表述，在這種情形下，一般最適合用三垂線定理作出二面角的平面角.

3.墻角是我們生活中經常碰到的一種模型，它的幾何抽象是從同一點出發的三條兩兩垂直的射線，也可以看成是長方體(或正方體)的一個角，因而它具有長方體(或正方體)的某些性質特征.連接長方體上下底面兩條異面對角線的四個頂點可以得到一個四面體，這個四面體的特殊之處在于它的三組對棱對應相等，因而在平時的練習當中，若接觸到這樣一個特殊的四面體，可以將它補成一個長方體，從而利用長方體的性質來考慮問題.

三、推論與模型在高考解題中的應用

例:(2009江西卷理9)如圖5所示，正四面體ABDC的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的為:

A.O-ABC是正三棱錐

B .直線OB∥平面ACD

C .直線AD與OB所成的角是45°

D. 二面角D-OB-A為45°

分析:該題從設問到圖形的放置都有一定的迷惑性，逐個判斷比較費時，但是，正四面體和墻角模型可將原圖補為如圖6所示的正方體，由OB∥DE不難得出B為錯誤的.