一道高考數學填空題的解法探究

每年高考，好題不斷，掩卷而思，拍案叫絕，江蘇卷2010年第13題就是一例!

題目:在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，+= .

這是一道關于“三角函數”的填充題，主要考查三角函數的基礎知識和三角恒等變換等基本思想方法，考查的知識點為解三角形、正弦定理、余弦定理的靈活運用.

本題構思巧妙，內涵豐富、結構和諧，解法多樣，是一道全方位考查三角變換與運用解三角形知識進行三角運算的能力題.由于綜合性較高，邊、角、三角函數名稱錯綜復雜，求解這類問題必須講究方法與技巧，否則往往因運算量偏大而“半途而廢”.那么，如何尋找這道題的解題思路呢?

1.堅持“通法”，定能“笑到最后”.

所謂“通法”，就是采用平時處理這類問題的一般方法:切化弦+正弦定理+余弦定理.

由+=6cosC，得+=6×，故a2+b2=c2，所以+=tanC#8226;=tanC#8226;== ==4 .

點撥2 =====.同樣地，=====，所以+=+==4.

2. 巧妙“賦值”，定能“笑得最美”.

所謂“賦值”，就是特殊值法.留意題設條件結構不難發現，a與b“地位相當”，于是我們不妨令a=b，將其轉化為等腰三角形問題，將復雜問題簡單化.

點撥3 若令a=b，則cosC=，sinC=tanC=2，此時銳角三角形ABC為等腰三角形.易求得tanA=tanB=，從而+=4.

3. 打破“陳規”，定能“笑得最艷”.

所謂打破“陳規”，就是另辟蹊徑，將原問題放到新的背景下，利用新的方法加以解決，這主要考查考生的知識遷移能力.本題也可用解析法來求解.

點撥4 建立如下圖所示的直角坐標系，設A(x，y)，B(a，0)，則cosC=，tanC=，tanB=，于是tanA=

-tan(B+C)=-==.

顯然 x2+y2=b2，

由+=6cosC，得+=6×，故a2+b2=6ax.+=+=+====4.

類題練習 1.銳角三角形ABC中，邊長a，b是方程x2-2x+2=0的兩個根，且2sin(A+B)- =0，則c邊的長是 .

2.在斜ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且=，則角A的值為.

答案 1. ;2. .

責任編校 徐國堅