2010年浙江高考理科數學21題分析

題目:已知m>1，直線l:x-my-=0，橢圓C:+y2=1，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點. (Ⅰ)當直線l過右焦點時F2，求直線l的方程;(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

分析:第(Ⅰ)問較簡單，答案為x-y-1=0;第(Ⅱ)問一般解題的思路:先設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立直線l與橢圓C方程，消去x(注:也可以按常規消去y，但計算量要大)得2y2+my+-1=0，由判別式△>0知m2<8，又由韋達定理得:y1+y2=-，y1y2=-，由三角形重心公式(注:在考試后許多同學反映，自己這道題目不會做，其實是因為不會求得G，H的點坐標，也即忘記了重心坐標公式)得G(，)，H(，)，因此以線段GH為直徑的圓心M(，)，因為原點O在圓內，所以OM

評注:上述解法是高考參考解法，也是絕大多數同學的解法，其實質就是利用點與圓的位置關系:點在圓內，則點到圓心的距離小于半徑來解決.同學們知道，點與圓的位置關系有三種:點在圓內、點在圓上、點在圓外，相應的應有點與圓心的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑，這是解題的一個切入口.但我們也可以尋找點與圓的位置關系的另一個切入口:與向量結合，用向量方法解題.因為從向量的角度考慮，點F在以線段MN為直徑的圓上，則有FM⊥FN，故可得向量關系#8226;=0;若點在圓內就有∠MFN>90°，故#8226;<0;若點在圓外就有∠MFN<90°，故#8226;>0.因此，對于本題同學們也可以用下列的方法:前面同常規解法，因為原點O在以線段GH為直徑的圓內，所以#8226;<0，即x1x2+y1y2<0，進一步可化得(m2+1)(-)<0，m2<4.結合題意最后可得1

在2010年高考中，許多省份都考到了點與圓位置關系的問題，下面例舉兩道題作為練習.

1.(2010年四川高考理科)已知定點A(-1，0)，F(2，0)，定直線l:x=，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

分析:(Ⅰ)動點P(x，y)滿足=2x-(y≠0)，化簡得軌跡E方程為x2-=1(y≠0);(Ⅱ)把過點F的直線y=k(x-2)代入軌跡E方程得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，故3-k2≠0且△>0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，則由韋達定理得:x1+x2=，x1x2=，從而y1y2=-，由直線AB為y=(x+1)得M(，)，則=(-，)，同理=(-，)，于是#8226;=+=0，故FM⊥FN，所以點F在以線段MN為直徑的圓上.當過點F的直線斜率不存在時，可以驗證也滿足.

2.(2010年湖北高考理科)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1，0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)是否存在正數m，對于過點M(m，0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有#8226;<0?若存在，求出m的取值范圍;若不存在，請說明理由.

答案:(Ⅰ) y2=4x;(Ⅱ)3-2

責任編校 徐國堅