從一道模擬試題談《不等式選講》的考查變化

對于選考內容的4-5《不等式選講》，廣東省經歷了從最初考查絕對值不等式、柯西不等式(包括三個實數)、不等式的證明等幾乎所有內容，到降低柯西不等式要求(僅包括二個實數)，再到徹底刪除柯西不等式的內容.雖然早就知道廣東高考理科將選考內容的4-5《不等式選講》從選考改成了指定選考內容，但具體怎樣考還是不夠明確，看過了今年的高考題，才知道原來是要這樣子變化的. 其實，相信備考師生看過2010年5月華南師大附中第三次模擬理科第13題也能感受到其變化趨勢.

2010年5月華南師大附中第三次模擬理科第13題:

若對任意x∈A，y∈B，AR，BR有唯一確定的f(x，y)與之對應，則稱f(x，y)為關于實數x，y的二元函數.現定義滿足下列性質的二元函數f(x，y)為關于實數x，y的廣義“距離”:(1)非負性:f (x，y)≥0，當且僅當x=y時取等號;(2)對稱性:f (x，y)=f (y，x);(3)三角形不等式:f (x，y)≤f (x，z)+f (z，y)對任意實數z均成立.今給出三個二元函數，請選出所有能夠成為關于實數x，y的廣義“距離”的函數序號:

① f (x，y)=x-y;② f (x，y)=(x-y)2;③ f (x，y)=.

能夠成為關于實數x，y的廣義“距離”的函數的序號是.

分析與解:因為要求填寫對于新定義的二元函數是否為關于實數的廣義“距離”的函數，只能逐一驗證三個函數是否具備三個條件.

對于函數f(x，y)=x-y，滿足非負性:即f(x，y)=x-y≥0，當且僅當x=y時取等號;滿足對稱性:f (x，y)=f (y，x)，即x-y=y-x;滿足三角形不等式:f (x，y)≤f (x，z)+f (z，y)對任意實數z均成立，即x-y≤x-z+z-y對z∈R均成立(根據絕對值的幾何意義，數軸上的任意點z到兩點x，y的距離之和z-x+z-y都不小于x，y之間的距離x-y，即x-y≤x-z+z-y總成立;也可以由絕對值不等式直接得到x-z+z-y≥(x-z)+(z-y)=x-y)，故函數①能夠成為關于實數x，y的廣義“距離”的函數.

對于函數f (x，y)=(x-y)2，滿足非負性:即f (x，y)=(x-y)2≥0，當且僅當x=y時取等號;滿足對稱性:f (x，y)=f (y，x)，即(x-y)2=(y-x)2;不滿足三角形不等式:f (x，y)≤f (x，z)+f (z，y)對任意實數z未必成立，即(x-y)2≤(x-z)2+(z-y)2對z∈R未必成立.事實上，令g(z)=(x-z)2+(z-y)2-(x-y)2=2z2-2(x+y)z+2xy，判別式△=4(x+y)2-16xy=4(x-y)2≥0，因此(x-z)2+(z-y)2-(x-y)2≥0不是恒成立的(△>0時，存在無數個z∈R，使得(x-y)2>(x-z)2+(z-y)2)，故函數②不能夠成為關于實數x，y的廣義“距離”的函數.

對于函數f(x，y)=，滿足非負性:即f(x，y)=≥0，當且僅當x=y時取等號;不滿足對稱性:f(x，y)=f(y，x)不成立，即=不成立(因為只能在x≥y，y≥x即x=y時成立);雖然滿足三角形不等式:f(x，y)≤f(x，z)+f(z，y)對任意實數z(x≥z≥y)均成立，即≤+對z∈R(x≥z≥y)均成立.故函數③f (x，y)=不能夠成為關于實數x，y的廣義“距離”的函數. 答案:①.

今年的高考，命題人并沒有像很多地方簡單地把絕對值不等式的試題挪到選擇題或填空題中，而是作為創新題放到了壓軸題的位置，并且融合了諸多必備的數學思想方法在其中.應當說，廣東卷命題人對《不等式選講》的這一改變，絕不會是偶然的!

2010年6月高考廣東卷理科第21題(本小題滿分14分):

設A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐標系xOy上的兩點，現定義由點A到點B的一種折線距離(A，B)為(A，B)=x2-x1+y2-y1.對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，

(1)若點C(x，y)是平面xOy上的點，試證明:(A，C)+(C，B)≥(A，B);

(2)在平面xOy上是否存在點C(x，y)，同時滿足① (A，C)+(C，B)=(A，B);② (A，C)=(C，B).若存在，請求出所有符合條件的點;若不存在，請予以證明.

(1)證明:由定義知(A，B)=x2-x1+y2-y1，(A，C)=x-x1+y-y1，(C，B)=x2-x+y2-y，對于任意x，y∈R，根據絕對值的幾何意義，數軸上的任意點x到兩點x1，x2的距離之和x-x1+x2-x都不小于x1，x2之間的距離x2-x1，即x-x1+x2-x≥x2-x1總成立，同理可知y-y1+y2-y≥y2-y1，所以(A，C)+(C，B)≥(A，B).

證法2:由絕對值不等式知x-x1+x2-x≥(x-x1)+(x2-x)=x2-x1，且y-y1+y2-y≥(y-y1)+(y2-y)=y2-y1對x，y∈R恒成立，兩式相加可得x-x1+x2-x+y-y1+y2-y≥x2-x1+y2-y1，當且僅當(x-x1)#8226;(x2-x)≥0且(y-y1)#8226;(y2-y)≥0時取等號，所以(A，C)+(C，B)≥(A，B).

(注:此處證明絕對值x-x1+x2-x≥x2-x1且y-y1+y2-y≥y2-y1與模擬題中證明x-y≤x-z+z-y對z∈R均成立可謂異曲同工!)

(2)解:由(1)可得，若(A，C)+(C，B)≥(A，B)，則x-x1+x2-x≥x2-x1與y-y1+y2-y≥y2-y1中同時取到等號，不妨設x1≤x2，y1≤y2(因為A、B是兩個點，顯然x1=x2，y1=y2不能同時成立)，則x1≤x≤x2，y1≤y≤y2，也就是說點C(x，y)必定在以A(x1，y1)，B(x2，y2)，A1(x2，y1)，B1(x1，y2)為頂點的矩形AA1BB1之內.

若 (A，C )= (C，B )，即x-x1+y-y1=x2-x+y2-y.

顯然，①當x1=x2且y1≠y2時，點C(x，y)是線段AB的中點C(，)時，滿足題意;②當x1≠x2且y1=y2時，點C(x，y)是線段AB的中點C(，)時，滿足題意;③當x1≠x2且y1≠y2時，假設存在點C(x，y)滿足(A，C)=(C，B)，因為x1≤x≤x2，y1≤y≤y2，x-x1+y-y1=x2-x+y2-y可以改寫成x-x1+y-y1=x2-x+y2-y，也就是說x+y=+，所以，在平面xOy上點C(x，y)的軌跡是過線段AB的中點(，)且斜率為-1的直線上的一段直線段(在已知矩形AA1BB1之內的部分).

附記:上面兩道試題，無論從形式上(都是給出新定義)，還是從實質上(都是考查對絕對值不等式的理解與應用能力)都相差不大，考查重點并非新定義而是不等式的證明.從思想方法來說，化歸與轉化思想、分類與整合思想等都得到了充分的考查.這種考查形式，既體現了命題人對《不等式選講》內容要求的獨特理解，也可以引起高三師生對這部分內容的地位和作用的重視，特別是對于課標區(如山東、安徽、遼寧、海南、寧夏、吉林、黑龍江等地)備考師生，無疑也都具有相當重要的借鑒意義.

責任編校 徐國堅