賞析一道2010年數(shù)列高考

2010年高考安徽數(shù)學理科卷20題:設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0. 證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N，都有++…+=.

背景分析: 本題考查等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、數(shù)列遞推轉(zhuǎn)化、拆項相消求和法的運用、充要條件、推理與證明、數(shù)學歸納法、分討論思想的運用等等. 在知識交匯處命題，考查的知識面廣、綜合性強. 本題題面親切， 以課本習題和日常訓(xùn)練題為背景， 它源于人教A版教材必修5習題2.3B組第4題:

數(shù)列{}的前n項和Sn=++++…+，研究一下，能否找到求Sn的一個公式，你能對這個問題作一些推廣嗎? 但本題命制突破對等差數(shù)列認識的思維視角， 問題的充分性是大多考生的備考復(fù)習盲點，要解決好充分性的證明需要考生對數(shù)列思想方法的準確把握與運用， 因此本題是一道立足基礎(chǔ)，注重創(chuàng)新，突出能力的好題.

解題分析:要證充要條件，分充分性和必要性兩部分證明.由于必要性主要利用考生熟悉裂項相消求和法.在運用裂項公式=#8226;時，未知量公差d在分母中，此時需要d≠0，注意分類討論.

必要性證明:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立.

若d≠0，則++…+=(++…+)=[(-)+(-)+…+(-)]=(-)=#8226;=.

研究規(guī)律是數(shù)列重要思想方法之一，規(guī)律的表達方式有歸納、公式等，充分性的證明反映等差數(shù)列概念的又一種公式表達，但考生需要明確本題證明的思維落點:用通項公式或定義遞推公式是表達等差數(shù)列常用的形式，因此本題可以從這兩個角度去尋找證明思路.

分析一:必要性的證明給我們的啟示是:如果數(shù)列是等差數(shù)列，則有++…+=成立，結(jié)合數(shù)列與數(shù)學歸納法的聯(lián)系，以及數(shù)學歸納法的假設(shè)性設(shè)出等差數(shù)列通項公式，可考慮運用數(shù)學歸納法證明充分性:

設(shè)所述的等式對一切n∈N都成立.令n=2，得等式+=，兩端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2=a1+d.

假設(shè)ak=a1+(k-1)d，當n=k+1時，由二等式:++…+=，++…++=，得+=，在該式兩端同乘a1akak+1，得(k-1)ak+1+a1=kak.將ak=a1+(k-1)d代入其中，整理后，得ak+1=a1+kd.由數(shù)學歸納法原理知， 對一切n∈N，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差為d的等差數(shù)列.

分析二:等差數(shù)列的定義由遞推公式表達:從第二項起，每一項與前一項的差為同一個常數(shù).可考慮從題目所給的公式求得數(shù)列{an}的遞推關(guān)系，證明如下:

由++…+=及++…++=，相減得=-，同理可得a1=nan+1-(n-1)an+1，兩式相減得遞推公式2nan+1=n(an+2+an)，即an+2-an+1=an+1-an對任意n∈N都成立，所以{an}是等差數(shù)列.

易錯點分析:本題是一個入口較寬，多點把關(guān)的好題，首先要求考生分清問題的條件和結(jié)論，辯明充分性與必要性;其次必要性的證明中需注意運算條件的嚴密性，對d的取值進行討論;若運用數(shù)學歸納法證明充分性，沒有歸納證明假設(shè)2a2=a1+a3，就直接說數(shù)列{an}為等差數(shù)列，是考生容易失誤的地方;若運用遞推關(guān)系證明充分性，在得到a1=(n+1)an+1-nan+2，消去a1的必要性及實施方法也是一個思維難點.

考題欣賞:問題的解決需要考生掌握基礎(chǔ)知識，理解數(shù)列思想方法，確定問題本質(zhì)的能力.作為考卷上的軸題，本題有一定的難度與區(qū)分度，具有很好的選拔功能.本題是一道源自課本，高于課本的考題，對考生來說情境親切，卻又不易順利解出，在當今高校老師作為主要命題成員，以高等數(shù)學知識和競賽題為背景的考題在高考試卷中縷縷顯現(xiàn)的環(huán)境中，本題的命制給人耳目一新的感覺.

變式訓(xùn)練:數(shù)列{an}的前n項和為Sn，證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N，都有Sn=.

責任編校 徐國堅