中學數學課堂探究教學例談

　　摘要：在數學思想指導下，從旋轉對稱與數形結合的角度，以單位圓內三角函數的定義為切入點，通過探究與發現實現引導學生獨立推導出誘導公式，將代數的公式置于幾何的圖形中理解的教學目標。
　　關鍵詞：對稱思想；課堂教學；探究與發現
　　
　　以新課程為核心的教育改革，全面更新了基礎教育的理念，以接受與探究相融合，激發學生學習的主動性為主要思想的課堂改革，改變了原有的教學模式。弗萊登塔爾認為：學習數學的惟一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人將所要學的東西自己發現或創造出來；教師的任務就是引導和幫助學生去進行這種再創造的工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。深入理解課程標準，了解數學知識的背景，準確把握數學概念的內涵，區分核心與非核心知識，將數學教學置于數學思想的指導下，從根本上提高學生的數學素養，這是新課程對數學教師提出的要求。
　　通過多年的教學積累，深入學習課標對這一內容的處理方式，從系統的高度重新審視這一內容，筆者認為“對稱”才是這一部分內容所揭示的核心思想。在此觀點下，教材對這一章內容的調整，以下幾點值得教師深入體會：
　　一、揭示核心思想：對稱
　　1.加入了三角函數在單位圓內的定義。從幾何的角度理解和認識三角函數的定義——x=cosα，y=sinα就是對圓的動態解析，這與解析幾何中圓的參數方程，向量與復數的三解形式取得了一致，讓這一知識體系統一在數學的大系統之中。
　　2.移開和差倍公式的設置，弱化數學技巧的同時，強化了數學思想，讓三角函數的概念之間的關系更緊密。將單位圓引出的三角函數從圓內的旋轉與對稱，上升為函數的周期性變化規律。而實現這一轉化的關鍵是誘導公式，大坐標系這天研究工具下，從坐標系內的角的終邊對稱這一幾何特征，轉化為角和、差的關系：α±β=2kπ；α±β=2kπ+π，進一步通過定義上升為三角函數值的符號變化：sin（π±α）=±sinα；cos（π±α）=cosα，最后升華到坐標系內的三角函數圖像的周期性特征。
　　3.在單位圓內定義三角函數，使學生理解三角函數線的難度降低。由數量表示的坐標，轉化到幾何特征的三角函數線，實現了代數到幾何的轉化，這使得從單位圓內平移三角函數線作圖的方法順理成章，而不顯得突然。通過幾何與代數的相互轉化，體現了三角兼有幾何和代數的特征，是數與形的統一。
　　4.凝結著數學思想的概念成為聯系全章知識的關鍵。終邊相同角體現著角的分類標準從大小分類到終邊位置分類的轉變。而實現這一轉變的關鍵是在坐標系的研究環境下，角的決定因素從三個（始邊、頂點、終邊）退化為一個終邊；終邊相同角又是三角函數定義的基礎：定義中只關心角的終邊位置，并沒有提到角的大小。因而終邊相同角才是核心概念，它所體現的位置分類的原則是達到全章和諧統一的關鍵，因而教學的重點是通過對概念的教學，讓學生體會概念所傳達的數學思想。
　　基于上述認識，筆者認為誘導公式的教學應該更多的是體現三角函數的對稱性，避免在低層次的運算技巧上的重復。誘導公式所體現的是圓的中心對稱性和坐標軸對稱性，結合三角函數的定義實現從幾何到代數轉化的關鍵。通過分析新課標對這一部分內容的呈現方式，結合自己的理解和對課本內容的挖掘，利用數形結合的方法，將公式的推導過程與三角函數的定義與直角坐標系內的單位圓相結合，利用對稱和圖形的特點來講解三角函數中的誘導公式，收到了較好的教學效果。
　　二、尋求教學起點：提出構想
　　首先是讓角在直角坐標系內旋轉的構想。循著這一構想讓角在直角坐標系內無法體現出大小的區分，因而終邊相同角的位置分類順理成章地登上了舞臺；這時的角在直角坐標系內成為一條射線，進而引導學生分析出在直角坐標系內終邊決定角這一根本的思想。在這一思想的指導下，從幾何的角度出發探究出了角的終邊對稱。在坐標系內這五個角對應著四個特征方向，我將其稱為定位角。類比生活中的東南西北的定位方式，讓學生體會東方是太陽升起的地方，也是一天開始的時候。這就是一個角的始邊所處的位置，所有的角都是從這一個位置開始的，并且周而復始，從來沒有停止。讓學生通過旋轉來區分這四組角是關于坐標軸對稱的角，每一個角對應著一個象限，即當我們認為α為一個銳角的時候，π-α；π+α；2π-α（-α）分別對應于角α在第二、三、四象限內的對稱角，并且隨著角α的旋轉，依次跑遍整個坐標平面。
　　其次是設計三角函數的定義的構想。π，這五個角的正弦值與余弦值分別對應于單位圓與坐標軸的交點的坐標，找出其中關鍵的值0和1，并依此推導出三角函數值的符號的變化規律——正弦值的符號與y軸的符號變化一致，將其歸納為上下方向：余弦值的符號與x軸的符號變化一致，歸納為左右方向。進一步探究角的終邊在關于x軸對稱時，正弦值的符號相反，角的終邊關于y軸對稱時正弦符號相同；角的終邊關于x軸對稱時，余弦值符號相同，角的終邊關于y軸對稱時，余弦值符號相反。通過幾何畫板分析演示與分析四組結構角的終邊位置的對稱特征，以及這一特征所揭示的同名三角函數值之間的關系，近而總結出結論：這些角的同名三角函數值的絕對值相等。在得出結論后，我要求學生寫出角度為30°、45°與60°的其他對稱的角（為了讓學生能夠快速投入到思考中，我選用了學生比較熟悉的角度制），學生分組討論。學生完成后，提出一個問題，讓學生用一個比較簡單的方式來求出30°、150°、210°、330°和-30°的三角函數值。
　　待學生完成后，讓學生分析產生一現象的原因，并結合三角函數的定義試著說明這一現象，引導學生發現這一現象出現的原因是這些角的終邊對稱。也正是由于對稱，而使各三角函數的同名三角函數的值只相差一個符號；深化引導學生分析是什么導致了符號的變化，經過同學們的分析和爭論與教師的適當引導，導致符號發生變化的原因是由于三角函數的定義中用的是角的終邊上點的坐標的符號不同，從而得出是角的終邊決定了三角函數的符號。
　　在推導過程中，學生推廣這一結論到α角時，有不少學生都能夠將各對稱角用π-α、π+α、2π-α、-α這些結構角來表示，并由此推導出了誘導公式，并歸納出解題三步曲：
　　（1）一拆角成結構對稱角（學生的總結），判斷結構角的位置；（2）二看函數名稱定符號；（3）三定名稱變與不變。
　　按照這三個步驟，學生能夠很快地運用誘導公式解決問題，避免死記公式而帶來的運用不靈活的問題。
　　從理念的更新到課堂教學的具體實現，這中間還有很大的空間。而這一空間要求我們教師來填補，深入學習課程標準，研究挖掘教材所展示的數學思想，將課堂教學立意提高數學思想和系統的高度；結合學生的實際，選擇好一個合適的切入點，讓學生的體會真正的學習，激發學生的學習熱情，從而達到提高學生的數學能力的目標。
　　參考文獻：
　　［1］ 章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考，2010，（3）.
　　［2］ 孫維剛.我的三輪教育教學實驗［M］.北京：北京教育出版社，1999.
　　［3］ 王義堂，田保軍，王碩旺.新課標理念與教學策略［M］.北京：中國言實出版社，2003.