帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統

顧慶鳳

（浙江林學院理學院，浙江臨安 311300）

帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統

顧慶鳳

（浙江林學院理學院，浙江臨安 311300）

考慮服務員在休假期間不是完全停止工作，而是以相對于正常工作時低些的速率服務顧客的M／M／1工作休假排隊模型.在此模型基礎上，筆者針對現實的M／M／1排隊模型中可能出現的外來干擾因素，提出了帶RCE（Removal of Customers at the End）抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊這一新的模型.服務規則為先到先服務.工作休假策略為空竭服務多重工作休假.抵消原則為負顧客一對一抵消隊尾的正顧客，若系統中無正顧客時，到達的負顧客自動消失，負顧客不接受服務.使用擬生滅過程和矩陣幾何解方法給出了系統隊長的穩態分布，證明了系統隊長和等待時間的隨機分解結果并給出穩態下系統中正顧客的平均隊長和顧客在系統中的平均等待時間.

負顧客；工作休假；矩陣幾何解；穩態分布；隨機分解

1 引 言

Gelenbe在20世紀90年代初首次提出了負顧客的排隊模型［3］.負顧客可以看成是某些工作的外來援助或取消信號，一般作為系統的制約因素而存在，能抵消系統中的正顧客.后來，國內外學者掀起了帶有負顧客的排隊模型的研究熱潮.關于負顧客的排隊模型的成果不斷涌現［4-6］.近幾年來，工作休假排隊系統［7-9］也是國內外專家研究的熱點，此類模型的特點是在休假時服務員不會完全停止工作，而是以一個相對來說比正常服務率低一些的速率進行工作，比如說醫院系統，醫院里在休假時會安排部分工作人員值班，不會讓所有的醫生都休息.從休假期間部分的利用系統資源的角度來說，單服務臺排隊的工作休假策略類似于多服務臺排隊的部分服務臺休假策略，這可從文獻［11-12］中看出.如果服務員在工作休假期間的服務率減小為零，則我們得到了經典的休假排隊模型（服務員在休假期間完全停止為顧客服務，只能做些其他的輔助工作）.所以，工作休假排隊是經典休假排隊的擴展.受文獻［4-6］的啟發，筆者考慮一個將負顧客和工作休假結合起來的模型，首次提出了帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統，在RCE抵消策略下，負顧客可以看成服務系統中出現的一次外來對服務臺的干擾，一次外來干擾抵消一名隊尾的正顧客，當系統中沒有正顧客時，外來干擾自動消失，負顧客不接受服務.該模型在日常生活中有很廣泛的應用，如在通訊系統中，當數據傳輸到接受臺時，數據傳輸看成正顧客的到達，外來的干擾信號看成負顧客的到達.又如在商場中，通常的顧客看成正顧客，其他商家的誘惑等因素看成負顧客.

2 模型的描述

在M／M／1工作休假排隊系統中引入帶RCE抵消策略的負顧客，該系統是有正、負兩類顧客的單服務臺系統.一旦系統內無正顧客，服務員立刻開始一個隨機長度V的工作休假.在工作休假期間，服務員以低的服務率接待正顧客.若結束一次工作休假時系統中仍無正顧客，則繼續一個獨立同分布的工作休假.若在某次工作休假期間服務完某一個正顧客后系統中已有正顧客，則服務員終止工作休假并開始以正常服務率（更高的服務率）接待正顧客，直到服務臺再次變為空閑.正顧客和負顧客均泊松到達，到達率分別為λ和ε.服務臺對正顧客在正常服務期和工作休假期的服務時間均服從負指數分布，均值分別為和，這里（η＜μ）.假定到達間隔、服務時間和工作休假時間相互獨立.服務規則為先到先服務.工作休假策略為空竭服務多重工作休假.抵消原則為負顧客一對一抵消隊尾的正顧客（若有），若系統中無正顧客時，到達的負顧客自動消失，負顧客只起抵消正顧客的作用，負顧客不接受服務.

設工作休假時間V服從參數θ的指數分布，Qv（t）為時刻t系統中的正顧客數.

J（t）定義如下：

由于到達間隔、服務時間和工作休假時間都服從負指數分布，則｛Qv（t），J（t）｝是一個擬生滅過程（quasi birth and death process，簡記QBD），有狀態空間如果將狀態按字典序排列后，其生成元可寫成下列分塊三對角形式：

在擬生滅過程中，矩陣方程R2B＋RA＋C＝0的最小非負解R稱為率陣，并起重要作用.為研究率陣R，需要下列

引理1 二次代數方程

證由（1）可知sp（R）＜1當且僅當ρ＜1.進一步地，由文獻［1］定理2.4可以證明過程正常返當且僅當ρ＜1.

3 系統隊長的性能指標

4 穩態隊長的隨機分解

5 穩態等待時間的隨機分解

6 結 論

本文給出了FCFS、RCE抵消策略的負顧客M／M／1連續時間工作休假排隊模型的系統隊長的穩態分布和系統隨機分解結果.對于RCH（Removal of Customers in the head）或兩者（RCH與RCE）均有的情況，只需將文中的ε改為h（h為RCH的發生率）或ε＋h.此模型可以進一步推廣到帶負顧客的Geo／Geo／1離散時間工作休假排隊系統，從而對通訊網絡系統（離散時間排隊系統）建立更切合實際的準確的模型.

［1］ 田乃碩，岳德權.擬生滅過程與矩陣幾何解［M］.北京：科學出版社，2002.

［2］ 田乃碩.休假隨機服務系統［M］.北京：北京大學出版社，2001.

［3］ Gelenbe E.Queues with Negative Arrivals［J］.J.of Applied Probability，1991，28（1）：245-250.

［4］ Peter G.Harrison，Edwige Piter.The M／G／1 Queue with Negative Customers［J］.Advances in Applied Probability，1996，32（2）：540-566.

［5］ 陳燕，朱翼雋，陳洋.一類具有負顧客的M／G／1休假排隊模型［J］.蘭州大學學報（自然科學版），2005，41（1）：118-121.

［6］ 杜貞斌，朱翼雋，肖江，陳洋.負顧客的M／G／1排隊模型［J］.江蘇大學學報（自然科學版），2002，23（3）：91-94.

［7］ Servi L D，Finn S G.M／M／1 queues with working vacations（M／M／1／WV）［J］.Performance Evaluation，2002，50（1）：41-52.

［8］ Liu Wen-yuan，Xu Xiu-li，Tian Nai-shuo.Stochastic decompositions in the M／M／1 queue with working vacations［J］.Operations Research Letters，2007，35（5）：595-600.

［9］ Yutakababa.Analysis of a GI／M／1 queue with multiple working vacations［J］.Operations Research Letters，2005，33（2）：201-209.

［10］ Keilson J，Servi L D.A distributional form of Little’s law［J］.Operations Research Letters，1988，7（5）：223-227.

M／M／1 Queuing System with RCE Strategy of Negative Customers and Working Vacation

GU Qing-feng
（Faculty of Science，Zhejiang Forestry College，Lin’an，Zhejiang 311300，China）

Consider an M／M／1 queue with vacations such that the server works with different rates rather than completely stops during a vacation period.In order to solve the interfering factors take place in the M／M／1 queuing system，the M／M／1 queuing system with negative customers and working vacations is studied.The serve rules are First Come First Served.The working vacation policy is exhaustive service and multiple working vacations.Negative customers remove positive customers only one by one at the tail（if present）.When a negative customer arrives，if the system is empty，it will disappear.Negative customers need no services.Using QBD（quasi birth and death）process and Matrix-Geometric solution，we gain the steady-state distributions for the number of customers in the system，point out the result of stochastic decomposition of the queue length and obtain mean of the system size of positive customers and waiting time.

negative customers；working vacations；matrix-geometric solution；steady-state distributions；stochastic decomposition

O226

B

1672-1454（2010）05-0125-06

2007-12-03