離散狀態方程在人口預測問題中的應用

苑延華， 宋作忠， 姚 君

（黑龍江科技學院數力系，哈爾濱 150027）

離散狀態方程在人口預測問題中的應用

苑延華， 宋作忠， 姚 君

（黑龍江科技學院數力系，哈爾濱 150027）

應用地域狀態變量建立了人口發展的離散模型.一個重要目的就是評價中國的城市化和人口政策產生的影響.這些問題包括人口數量的預測和關于一些人口指標的討論，如：人口地域分布、人口年齡分布、性別比、老齡化、撫養率，等.進而討論了應在何時采取怎樣的政策來應對未來的人口困境.

人口發展的離散模型；約束最小二乘估計；城鎮化；老齡化

1 引 言

人是社會經濟活動的主體，人口的發展變動趨勢，對社會經濟發展產生極大的影響，如資源分配、城市建設等，因此人口預測問題在社會經濟發展實踐中占有十分重要的地位.我國是一個人口大國，人口的增長一直是制約著我國發展的重要因素.特別是在實行計劃生育政策的36年的時間里，我國人口增長得到了有效的控制，但是隨著改革開放的不斷深入，人口城鎮化比例發生劇烈變化，對城市、鎮、鄉的經濟發展產生了深遠的影響.隨著大量的農村勞動力向城鎮轉移，使得我國人口的城、鎮、鄉分布的分析和預測成為人們關心的重要問題之一.近年來中國的人口發展出現了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比偏高，人口撫養比的持續升高等因素，這些都影響著中國經濟增長的進程與成果.

2 問題分析與模型假設

2.1 問題分析

通過對2001—2005年中國市、鎮、鄉人口數量及死亡率的年齡分布的統計研究，我們可以發現一些基本規律：

規律1 人口年齡分布的傳動特性

也就是說，隨著時間的發展，我國市、鎮、鄉里的同一性別人口比例按年齡的分布具有時間傳動性.圖1顯示城市男性人口比例的年齡分布圖，由此可知，1960年代的男性人口比例在2001至2005年一直處于比例峰值處，這說明當時的生育數量影響著這一時代人占總人口的比例數值，可見生育率影響著人口比例的年齡分布率，即人口年齡分布具有時間傳動的特性.

規律2 死亡率年齡分布的穩定性

同一地域同一性別人的死亡率的年齡分布具有時間不變性.并且死亡率的分布呈現出J型，即嬰兒段和高齡段的自然死亡率高，少年、青年、中年段的自然死亡率較低，顯現出先降低后平穩發展最后快速升高的趨勢.

規律3 生育率年齡分布具有地域穩定性

圖1 2001—2005年城市男性占市總人口比例的年齡分布

圖2 城市男性死亡率的年齡分布圖（2001—2005年）

圖3 新生嬰兒由k齡婦女生育的比率的年齡分布圖

圖3（a）是2001至2005年城市新生嬰兒由k齡婦女生育的比率的年齡分布，由此可見這個生育率的穩定性，而圖3（b）說明了新生嬰兒由k齡婦女生育比率的年齡分布在地域之間的差別，而且可以發現按鄉、鎮、市育齡婦女生育年齡的主體向大齡發展的趨勢，圖中生育率是指m年里新生嬰兒由k年齡段的婦女生育的概率.

圖4表示k齡婦女千人生育率在不同地域之間的差異，我們可以發現三地婦女的生育率按鄉、鎮、市的順序呈現出遞減的態勢，而且育齡婦女千人生育率為40‰以上的年齡區間有變短的趨勢.

圖4 市、鎮、鄉育齡婦女千人生育率的年齡分布

規律4 社會總生育率具有逐年遞減性

圖5 市、鎮、鄉總生育率的統計圖（1995—2005年）

由圖5，可以發現1995年到2005年的統計數據顯示出社會總生育率具有逐年下降的趨勢，這和已有的研究成果“社會發展水平高，總生育水平低”的結果相一致.

2.2 模型假設

假設1：我國人口政策保持現狀不變，不增加或減少關于人口遷移或生育有關的政策；

假設2：我國人口具有地域封閉性，即沒有大規模的國際遷入與遷出；

假設3：我國人口按地緣分成城市人口、鎮人口、鄉人口三個基本類型；

假設4：每類人口的變化與遷入率、遷出率、死亡率有關；

假設5：新生人口數量只受育齡婦女的數量及其生育率的影響；

假設6：我國社會生育模式不變.

3 符號說明

記i表示地區，則當i＝1時表示城市，i＝2時表示鎮，i＝3時表示鄉；以j表示性別，則當j＝1時，表示男性，j＝2時，表示女性；k表示年齡，且k＝1，2，….于是為說明的方便引進以下記號：

xrij（k，m）：m年末i地區j性別k年齡段占i地總人口的比率；

dij（k，m）：m年末i地區j性別k年齡段人的死亡率，k＝0，1，2，…；

OTilj（k，m）：m年末i地區j性別k年齡段的人口遷往l地區的比率，且OTilj（k，m）≥0；

bij（0，m）：m年末i地區j性別嬰兒總數；

pri2（k，m）：m年末i地區在k年齡段育齡婦女的千人生育率；

xti（m）：m年末i地區的總人口；xij（k，m）：m年末i地區j性別k年齡段的總人口，且

gri（m）：m年末i地區的新生兒中女孩的比例；

sij（k，m）：m年末i地區j性別k年齡段人口容量比；

πi（k）：i地區新生嬰兒由k齡婦所生概率；

yi（m）：m年末i地總生育率.

4 模型建立與模型求解

4.1 基本模型

說明 上述離散模型（Ⅰ）是根據基本假設1—5建立起來的，其中bij（0，m）表示m年末i地區j性別新生嬰兒人數，它與嬰兒死亡率、性別比及育齡婦女生育率的年齡分布有關；xij（k，m）等于該地同性別前一年齡段人口的凈剩余量加上外地人口遷入量，其中

遷出率與i地區j性別人口容量的剩余量成正比.

這個人口模型描述了我國境內人口地區間的流動規律，以及人口總量的發展規律，同時對人口性別特性也建立了動態描述.

4.2 簡化模型

我們假設dij（k，m），OTilj（k，m），pri2（k，m），gri（m），sij（k，m）均不隨時間m發生變化，于是離散模型（Ⅰ）簡化為

4.3 參數估計方法及結果

由所給的統計量上看，目前我國新生嬰兒性別比偏高，具有較嚴重的性別選擇，根據假設6，我們按現在有性別選擇傾向的生育模式進行預測，這里gri取i地區1995—2005新生嬰兒性別比的平均值；死亡率dij（k）用2001—2005年所給數據的平均值作為估計值；生育率的年齡分布也用每種情況對應平均值進行估計.關于遷出率OTilj（k）的估計，由于目前我國正處在城鎮化的過程之中，因而設僅有鄉向市、鎮的遷移，其余的遷移率均為零.應用約束最小二乘法進行估計，數學模型如下：

估計結果如圖6所示，由此可見，鄉村人口向城市遷移主要集中在青壯年齡段上，而向鎮遷移的人口幾乎每個年齡段的人都有.圖7顯示對于鄉男子向城市遷移的估計在60歲之前擬合性較好，60歲之后擬合結果比較差.結合實際，我們假設鄉里60歲以上人口（包括女子）不向城市、鎮遷移，因為這部分人口即使遷向城市，也因不具備勞動能力而是受撫養的對象.

圖6 鄉男、女遷出率年齡分布（單位：萬分之一）

圖7 鄉男子向城市（a）、鎮（b）遷移比率的估計、擬合曲線及擬合殘差圖

于是遷移率參數估計的改進模型為

4.4 模型預測及結果分析

4.4.1 誤差分析

按上述方法進行參數估計后進行預測，我們以2001年的數據為初值，經計算可得人口數據的估計值（見表1），從觀測值與估計值之間的對比可見本模型在人口總量的估計中預測數據值偏低，大約5年誤差為600萬人口，而且預測時間越長，誤差越大，產生總人口誤差的根源應該是婦女生育率及人口死亡率的估計誤差.

表1 社會總人口的預測值與觀察值的比較（單位：億）

4.4.2 模型的預測結果

從模型（Ⅱ）的計算結果我們獲得了社會總人口2001—2050年的預測結果及市、鎮、鄉人口分別在總人口中比例的預測結果（如圖8），從我們這個預測結果上可以看到中國人口在2020年時將達到最大值13.44億，此后人口總量具有下降的趨勢.由人口地域分布的預測可見在2050年時，市、鎮總人口數將達到社會總人口的80%.在2020至2030年間市、鎮、鄉人口比例持平.由圖9（1-3）可見，中國社會未來人口老齡化趨于嚴重，社會撫養比加大，育齡人口中男性人口數量偏高.這些都預示著社會保障和經濟建設部門要提前研究相應的制度設立，以保證整個社會的安定局面及人民生活的富庶.

圖8 2001—2050年中國人口數量及狀態結構預測

圖9 2001—2050預測結果

此外，圖10給出了若在2035年后調整生育政策為一家1.5個小孩，中國百年間人口發展的趨勢預測，可以看到人口總量在2080年前壓力不大，但2100年后的增長趨勢也讓我們深感憂慮.與此同時，2010年后社會總撫養比居高不下，這為提高社會發展水平，加快社會進步的步伐，提高人民生活水平的目標實現，提出了現實且難以逾越的障礙.不過，在這一政策下，2080年之后社會人口的年齡結構卻是令人歡欣鼓舞的.

圖10 中國社會人口組成的遠期預測（調整生育政策后）

5 模型評價

本文通過引進人口地域狀態變量，描述了改革開放以后人口流動的規律性，并在人口限制政策下預測了未來50年內中國人口總量、人口性別、社會勞動人口的總撫養率等重點問題.本模型的優點在于包含了人的生存地域特性，同時還引入社會發展后人們生育觀的時變參數（育齡婦女的生育率），這保證了預測結果的可信度.雖然這個模型還無法包含隨著社會人口地域結構的變遷、經濟發展模式的改變，人們遷徙規律的改變、生育觀念的改變等內容，但卻可以為社會制度的規劃、發展規劃提供有益的參考.

［1］ 中華人民共和國國家統計局.中國統計年鑒［M］.北京：中國統計出版社，2003.

［2］ 門可佩，曾衛.中國未來50年人口發展預測研究［J］.數量經濟技術經濟研究，2004（3）：12-17.

［3］ 虞麗萍.人口年齡結構模型建模與預測［D］.北京：上海交通大學碩士學位論文，2007.

The Application of Discrete State Equation on Population Forecasting Problem

YUAN Yan-hua， SONG Zuo-zhong， YAO Jun
（Department of Math.and Mech.，Heilongjiang Institute of Science and Technology，Harbin 150027，China）

We establish a discrete model of population development by the use of geographical state variables.One of the important aims of this discrete model is to evaluate the influences of urbanization and population policy in China.These population problems include the population prediction and some discussions about population indexes，such as，the geographical distribution of population，the population age distribution，sex ratio，aging ratio，dependency ratio.Then，we discuss how to adopt appropriate policy for the future population plight in different stages.

a discrete model of population development；constrained least squares estimation；urbanization；the aging of population

C924.2

B

1672-1454（2010）05-0117-08

2008-02-27；

2008-05-28

黑龍江省教育廳科學技術研究項目（10551285）