旋轉
——轉出解題新天地

●(實驗高級中學 湖北監利 433300)

文獻[1]對2009年江蘇省數學高考理科試題第18題進行了較為詳實的解題分析與教學反思，筆者讀后深受啟發、受益匪淺,但總覺得美中不足．如果此題能打破常規思維，運用動態的觀點，從旋轉的角度出發，化動為靜、以靜制動，那么將會是別樣精彩，更是一片新天地．

圖1

題目在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(2)設P為平面上的一點，且滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

(2009年江蘇省數學高考理科試題)

1 通性通法定乾坤

數學解題中的通性通法是指解題中的一些通用的、常用的方法．突出通性通法，全面考查雙基，是高考命題的一貫原則．因此，重視通性通法、返璞歸真，把最基本的思路方法教給學生，恰是新課程理念的內涵之一．本題的背景源于課本，以直線和圓2個基本知識點為載體，體現了由淺入深、由表及里、由靜制動的思維方式，主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，以及數學運算、綜合分析問題等基本能力．

分析第(1)小題已知一點求直線方程，缺少斜率，通過圓的“特征三角形”(半徑、弦心距、弦長的一半構成的直角三角形)，由勾股定理和點到直線的距離公式列出關于斜率的方程．第(2)小題易得到弦心距相等，關鍵是要理解滿足存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，這樣才能得到對字母m,n的要求，列出等式．

解(1)設直線l的方程為y=k(x-4)，即

kx-y-4k=0.

由垂徑定理得圓心C1到直線l的距離為

結合點到直線距離公式，得

化簡得

24k2+7k=0,

解得

故直線l的方程為

即

y=0或7x+24y-28=0.

kx-y+n-km=0,

和

因為直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，且兩圓半徑相等,所以由垂徑定理得：圓心C1到直線l1與圓心C2到直線l2的距離相等．故

化簡得

(2-m-n)k=m-n-3,

或

(m-n+8)k=m+n-5.

關于k的方程有無窮多解，則

點評第(1)小題的解法是通法，是代數和幾何相結合的方法——直接引入斜率，利用勾股定理、點到直線的距離公式求斜率，重點考查了學生綜合運用已知條件的能力．第(2)小題的解法是代數解法——直接設出點P的坐標和斜率，根據點到直線的距離公式得到關于點P的坐標及參數k的方程,重點考查了學生的轉化能力和數學運算能力．

2 旋轉轉出新天地

“探究是數學教學的生命線”．對于一個有價值的問題，教師要千方百計地引導學生全面觀察、深入思考、獨特分析，全方位、多角度、多層次地探索發現，力爭在常規解法上提出新穎的解法．本題條件中的“無窮多對”既使點P充滿玄機，也使試題的求解透出一絲勝利的曙光，“無窮”中蘊含了特殊與一般的關系，更蘊含了探求的方向．

圖2

圖3

第(2)小題的分析過點C1任作一直線C1P，過點C2作C2P⊥C1P，垂足為P(如圖3)．若|C1P|=|C2P|，則把∠C1PC2繞點P旋轉，因為圓C1和圓C2的半徑相等，所以角的2邊被圓C1和圓C2截得的弦長相等，滿足題意．因此，以C1C2為斜邊的等腰直角三角形的頂點即P為滿足條件的點．當然，在求點P的坐標時，方法也有很多種．

思路1設P(x0,y0).由PC1⊥PC2,且|C1P|=|C2P|，可得

化簡得

解得

即

(x0+3)(x0-4)+(y0-1)(y0-5)=0,

化簡得

又C1(-3,1),C2(4,5)，所以

易求得線段C1C2的垂直平分線方程為

聯立式(1)，式(2)即可求得．

又C1C2所在的直線方程為4x-7y+19=0，設過點P且平行于C1C2的直線的方程為4x-7y+m=0，則

解得

點評第(1)小題是通過旋轉直線y=0，直觀感覺到直線AC1的另一側存在滿足條件的直線，從而去求直線的斜率．第(2)小題是通過旋轉直角∠C1PC2，因為等弦心距對等弦，所以可得到無窮多對互相垂直的直線．動態分析，可考查學生靈活思維的能力．

[1] 王忠．2009年江蘇卷解析幾何解題分析與教學反思[J]．中學數學，2009(10):22-23.