二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)與點(diǎn)評(píng)

● (教育局教研室 浙江寧波 315000)● (寧波中學(xué) 浙江寧波 315000)

本節(jié)課是“2009年10月浙江省課堂教學(xué)評(píng)比與觀摩活動(dòng)”中浙江省寧波市選手倪蕾教師的一節(jié)參賽課(獲得一等獎(jiǎng)),筆者在此基礎(chǔ)上，對(duì)這一堂課進(jìn)行了重新設(shè)計(jì).

1 教材分析

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)人教版A版選修2-3第一章計(jì)數(shù)原理的第3節(jié)內(nèi)容．在學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)中，本節(jié)內(nèi)容分2個(gè)課時(shí),這里僅針對(duì)第一課時(shí)內(nèi)容.

二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣，這節(jié)課的內(nèi)容安排在計(jì)數(shù)原理之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它作為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用;另一方面是由于二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項(xiàng)式定理可導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對(duì)深化組合數(shù)的認(rèn)識(shí)有好處．再者,二項(xiàng)式定理也為學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布作準(zhǔn)備,它是帶領(lǐng)我們進(jìn)入微分學(xué)領(lǐng)域大門(mén)的一把金鑰匙.運(yùn)用二項(xiàng)式定理還可以解決如整除、近似計(jì)算、不等式證明等數(shù)學(xué)問(wèn)題．總之,二項(xiàng)式定理是綜合性較強(qiáng)、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識(shí).

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)中乘法公式的推廣,能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理,理解并掌握二項(xiàng)式定理;

(2)通過(guò)二項(xiàng)式定理的“發(fā)現(xiàn)”和證明，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、推理能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式;

(3)培養(yǎng)自主探究意思、合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美和對(duì)稱(chēng)美.

3 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析(a+b)3的展開(kāi)式，得到二項(xiàng)式定理．

難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 提出問(wèn)題，引入課題

二項(xiàng)式定理又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理在初、高等數(shù)學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用．二項(xiàng)式定理研究的是(a+b)n的展開(kāi)式，例如：

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=

a3+3a2b+3ab2+b3;

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;

……

設(shè)計(jì)意圖 沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯,引起認(rèn)知沖突,把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，直接引出課題．激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確這節(jié)課要解決的問(wèn)題.

4.2 引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

4.2.1 多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)

問(wèn)題1(a1+a2)(b1+b2)的展開(kāi)式是什么,展開(kāi)式有幾項(xiàng)，每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

問(wèn)題2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)展開(kāi)式有幾項(xiàng), 每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

設(shè)計(jì)意圖 多項(xiàng)式乘法規(guī)律是在每個(gè)括號(hào)內(nèi)任取一個(gè)字母相乘構(gòu)成展開(kāi)式中的每一項(xiàng),引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來(lái)解決項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，明確每一項(xiàng)的特征,同時(shí)也為后續(xù)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

4.2.2 展開(kāi)式的再認(rèn)識(shí)

探究1(先自己動(dòng)腦動(dòng)筆,再以4個(gè)人為一小組進(jìn)行討論.)

不展開(kāi)(a+b)3，能否回答下列問(wèn)題：

(1)合并同類(lèi)項(xiàng)之前展開(kāi)式有多少項(xiàng)？

(2)展開(kāi)式中有哪些項(xiàng)？

(3)各項(xiàng)的系數(shù)為多少？

(4)從上述3個(gè)問(wèn)題，你能否得出(a+b)3的展開(kāi)式？

設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)面臨一個(gè)新問(wèn)題時(shí),往往需要用已有知識(shí)對(duì)其進(jìn)行重新解釋,這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是對(duì)問(wèn)題的理解過(guò)程,化未知為已知的過(guò)程.通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)(a+b)3的展開(kāi)式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)的形式、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，旨在體驗(yàn)特殊情況下定理的形成過(guò)程,這也為推導(dǎo)(a+b)n的展開(kāi)式作了鋪墊，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依．

情境：從前有座山，……,3個(gè)和尚為了解決吃水問(wèn)題,他們協(xié)議每人每天下山挑一擔(dān)水.若下山既可以走前山，也可以走后山，前山有a條路，后山有b條路，假定他們下山的選擇相互獨(dú)立，問(wèn)這3個(gè)和尚共有多少種不同的下山方法(限制條件:a,b∈N*)?

解法1分步考慮：因?yàn)槊總€(gè)和尚都有a+b種下山方法,所以3個(gè)和尚共(a+b)3種不同的下山方法.

由上述解法可得:

類(lèi)似地,我們有

觀察以上2個(gè)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特征(項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指數(shù)),是否有規(guī)律可尋?

猜想:(a+b)n=？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)構(gòu)造實(shí)際背景,對(duì)同一個(gè)問(wèn)題采用2種不同的思路達(dá)到“殊途同歸”的目的,用生活事實(shí)詮釋數(shù)學(xué)原理,旨在提高學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)原理的感性認(rèn)識(shí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí).

4.3 形成定理，說(shuō)理證明

探究2(先自主學(xué)習(xí),后合作交流)請(qǐng)分析(a+b)n的展開(kāi)過(guò)程,證明猜想．

分析從2個(gè)方面入手:

證明略.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)仿照(a+b)3,(a+b)4展開(kāi)式的探究方法，由學(xué)生類(lèi)比得出(a+b)n的展開(kāi)式．二項(xiàng)式定理的證明采用“說(shuō)理”的方法，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的形式，用組合知識(shí)分析展開(kāi)式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的(a+b)n的展開(kāi)式．

4.4 熟悉定理，簡(jiǎn)單應(yīng)用

二項(xiàng)式定理的公式特征(由學(xué)生歸納，讓學(xué)生熟悉公式)：

(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng).

(2)次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．各項(xiàng)的次數(shù)和都等于n．

特別地，有:

例1求(1-2x)6的展開(kāi)式的第3項(xiàng),第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

解略.

設(shè)計(jì)意圖 熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

4.5 課堂小結(jié)，課后作業(yè)

由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的知識(shí)及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

(1)二項(xiàng)式定理:

(2)思想方法:從特殊到一般、類(lèi)比的數(shù)學(xué)思維方式,觀察、分析、歸納、猜想、證明的數(shù)學(xué)研究方法,等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想等.

(3)課后作業(yè)

鞏固型作業(yè)：課本第36頁(yè)習(xí)題1.3A組1,2,3.

設(shè)計(jì)意圖 (1)通過(guò)小結(jié)使學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容;

(2)適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)有助于進(jìn)一步鞏固新知;

(3)思維拓展型作業(yè)鼓勵(lì)學(xué)生探究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，為后面“楊輝三角”的學(xué)習(xí)作好鋪墊．

5 課例點(diǎn)評(píng)

5.1 教學(xué)思路清晰,學(xué)習(xí)重點(diǎn)突出

本節(jié)課以“提出問(wèn)題，引入課題—引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律—形成定理，說(shuō)理證明—熟悉定理，簡(jiǎn)單應(yīng)用—課堂小結(jié)，課后作業(yè)”為基本教學(xué)過(guò)程,圍繞“用計(jì)數(shù)原理分析(a+b)3的展開(kāi)式，得到二項(xiàng)式定理”展開(kāi)．設(shè)法使每一個(gè)知識(shí)、每一個(gè)發(fā)現(xiàn)由學(xué)生自己得出,教師只是在關(guān)鍵處加以引導(dǎo),尤其是課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間,讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上再組織討論,充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體的新課程教學(xué)理念.

5.2 整合教材資源,突破理解難點(diǎn)

因?yàn)閷W(xué)生比較熟悉(a+b)2的展開(kāi)式，所以以(a+b)3為對(duì)象進(jìn)行探究，在探究中設(shè)置了4個(gè)小問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)(a+b)3的展開(kāi)式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)(a+b)n的展開(kāi)式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依．這種處理教材的方式有效地突破了教學(xué)難點(diǎn),反映了教師的教學(xué)機(jī)智.

5.3 設(shè)問(wèn)合乎情理,探究活動(dòng)自然

問(wèn)題是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn),只有通過(guò)合理、適當(dāng)?shù)脑O(shè)問(wèn),才能在課堂上真正實(shí)現(xiàn)“人人參與,積極思考”.本節(jié)課,教師十分注重提問(wèn)的藝術(shù),問(wèn)題圍繞“如何將二項(xiàng)式的展開(kāi)式與‘計(jì)數(shù)原理’”聯(lián)系在一起而進(jìn)行,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題—尋求方法—實(shí)施方法—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—給出猜想—說(shuō)理證明”這一完整的探究活動(dòng),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生是水到渠成的.

5.4 注重知識(shí)聯(lián)系,滲透研究方法

本課的教學(xué)難點(diǎn)是如何將二項(xiàng)式的展開(kāi)式與“計(jì)數(shù)原理”聯(lián)系在一起.為突破這個(gè)難點(diǎn),教師用(a+b)3展開(kāi)作為切入口,從以下2個(gè)角度為學(xué)生“引路”:一是利用多項(xiàng)式乘法法則,運(yùn)用“計(jì)數(shù)原理”展開(kāi)(a+b)3，分析展開(kāi)式中各單項(xiàng)式的特征;二是構(gòu)造實(shí)際背景對(duì)等式

這樣處理既注重了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,同時(shí)滲透了“從特殊到一般”研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式,培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，也啟發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要關(guān)注2個(gè)方面的問(wèn)題:一是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題,即如何從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建相關(guān)知識(shí),為解決問(wèn)題提供足夠的、有效的工具;二是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系問(wèn)題,即數(shù)學(xué)知識(shí)源于哪里,來(lái)自何方,又用于哪里,去向何方.