用圓的幾何性質解題

●(蒼溪中學 四川蒼溪 628400)

圓是最簡單的曲線，它有豐富的幾何性質，在初中時就已經被研究過.平面解析幾何實際上就是用代數方法進行研究的平面幾何,因此學習解析幾何離不開平面幾何知識，尤其是圓的很多幾何性質.若在解決相關問題時善于靈活運用圓的幾何性質，則不僅可為順利得出解題思路掃除障礙、鋪平道路,而且也可大大簡化計算過程，提高解題速度,增強求簡意識.現舉例如下.

1 利用圓心的性質

圓是中心對稱圖形.在解決與圓有關的最值問題時，抓住圓心，可簡化計算.

解設P(5cosθ,4sinθ)，則

于是如圖1所示,

圖1

圖2

例2已知i為虛數單位，設A={z|z=2+2a+(2-2a)i,a∈R},B={ω|ω=sinθ-icosθ,θ∈R}，若z1∈A,z2∈B,求|z1-z2|的最小值.

解A表示直線l:x+y=4.因為

ω=sinθ-icosθ，

所以|ω|=1,因此B表示以原點為圓心，1為半徑的圓.故所求|z1-z2|的最小值即為圓周上的點到直線l的最短距離.如圖2，作OH⊥直線l，垂足為點H,則

2 利用圓周角的性質

2.1 直徑上的圓周角是直角

例3已知圓C：x2+y2+x-6y+m=0與直線l:x+2y-3=0相交于點P,Q，O為坐標原點．若∠POQ=90°，求實數m的值.

解由∠POQ=90°，可得以弦PQ為直徑的圓必過原點,即圓

(x2+y2+x-6y+m)+λ(x+2y-3)=0

解得λ=1,故m=3λ=3.

例4設A，B為拋物線y2=4px上原點O以外的2個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB于點M,求點M的軌跡方程，并說明軌跡表示什么曲線.

解得

y1y2=-16p2.

(1)

設AB所在的直線方程為x=my+b,代入y2=4px得

y2-4pmy-4pb=0,

因此

y1y2=-4pb.

結合式(1)，可得b=4p，即直線AB過定點P(4p,0).所以點M在以PO為直徑的圓上(如圖3),故所求點M的軌跡方程為

(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),

軌跡為以(2p,0)為圓心，2p為半徑的圓(除去原點).

2.2 圓外角小于圓周角

例5已知0

分析此題解法頗多，可用三角知識、不等式、函數等方法，但最為直觀與簡捷的方法是引入輔助圓,利用“圓外角小于圓周角”求解.

圖3

圖4

解如圖4，設過AB且與x軸正半軸相切的圓與x軸相切于點C.利用平面幾何中“圓外角小于圓周角”，知點C即為所求的點.由△OBC∽△OCA，得

|OC|2=|OA|·|OB|=ab,

因此

2.3 圓內角大于圓周角

圖5

圖6

3 利用垂徑定理

例7已知圓O：x2+y2=25上一點A(-3,4),PQ是圓的弦．若直線AP與AQ的傾斜角互補，求證:直線PQ的斜率為定值.

4 利用切割線定理

例8已知3個定點A(-2，0)，B(2，0),C(4，0)，經過點A，B任作一圓，圓心為E，從點C引圓E的2條切線，切點為P，Q．當圓E的半徑變化時，求CE與PQ交點M的軌跡.

解設M(x,y)為軌跡上任意一點，由切割線定理得

|CP|2=|CB|·|CA|=12.

如圖7，連結EP,則PE⊥CP.因為PQ⊥CE，所以

|CP|2=|CM|·|CE|.

設點E(0,d),則

(2)

又點M在直線CE上，所以

即

把上式代入式(2),化簡得

圖7

圖8

例9已知圓P:(x-2)2+y2=4，動圓M(在y軸右側)與y軸相切，又與圓P外切，過A(4,0)作動圓M的切線AN，求切點N的軌跡.

解如圖8，設動圓M與y軸切于點B，動圓M與定圓P切于點C.由MB∥AP，得

∠BMC=∠APC,

因此

∠MCB+∠MBC=∠PCA+∠PAC.

又由

∠MCB=∠MBC,∠PCA=∠PAC,

得

∠MCB=∠PCA，

因此點B,C,A共線.由切割線定理，知

因為在Rt△AOB中，OC⊥AB，所以

由式(3)，式(4)，知|AN|=4,故點N的軌跡為圓

(x-4)2+y2=16(x≠0).

5 利用相交弦定理

例10已知點A是⊙O:x2+y2=r2上任意一點，AB⊥x軸，垂足為B,以點A為圓心，|AB|為半徑的⊙A交⊙O于點C,D，又CD交AB于點P.當點A在⊙O上運動時，求點P的軌跡方程.

解如圖9，延長AB,BA,分別交⊙A,⊙O于點A′,B′.設P(xP,xP)，A(x0,y0)，則

由相交弦定理,得

|AP|·|PA′|=|CP|·|PD|=|BP|·|PB′|，

因此

于是

y0=2yP.

又x0=xP,代入式(5)得

故點P的軌跡方程為x2+4y2=r2.

圖9

圖10

6 利用切線長定理

證明如圖10，設內切圓切F1P于點M,切F2P于點N,則由切線長定理得

|F1M|=|F1A|,|F2N|=|F2A|,|PM|=|PN|,

則

|PF1|=|PM|+|MF1|=|PM|+|F1A|,

|PF2|=|PN|+|NF2|=|PN|+|F2A|,

所以

|PF1|-|PF2|=

|PM|-|PN|+|F1A|-|F2A|,

即

2a=|F1A|-|F2A|.

又

|F1A|+|F2A|=|F1F2|=2c,

所以

|F2A|=c-a，

即點A的坐標(a,0),故A為雙曲線的一個頂點.

7 利用公切線的性質

兩圓的連心線必過外(內)公切線的交點.

圖11

因此

即

又由O1到外公切線的距離為3，得

解得

故所求直線方程為

3x-4y+10=0和9x+40y+56=0.

[1] 林明成.漫談輔助圓的應用[J].中學教研(數學)，2008(9):30-32.