二次函數的另類最值求法及其引申

●(戴南中學 江蘇興化 225721)

二次函數在一區間上的最值問題是各類考試的重點、熱點內容，頻繁出現在試題中.其解決方法主要是分類討論，學生已經基本掌握，但另有2種情況的最值問題需要引起注意，不能生搬硬套，否則會陷入復雜的計算中.只要掌握這類題型的解決方法,便會產生事半功倍的效果.

例1已知f(x)=x2+ax+3,x∈[-1,2],求f(x)的最大值.

分析f(x)=x2+ax+3,x∈[-1,2],對應的圖像是開口向上的拋物線的一部分,離拋物線的對稱軸越遠,函數值越大.

[f(x)]max=f(-1)=2-a;

[f(x)]max=f(2)=8+2a.

引申1t為常數，函數f(x)=|x2-2x-t|在區間[0，3]上的最大值為2，求t的值.

解法1由函數g(x)=x2-2x-t的對稱軸是x=1，且g(0)=g(2)=-t，可得f(0)=f(2).經分析可知，f(x)在區間[0，3]上的最大值是f(1)或f(3).

若f(1)≥f(3),則

|-1-t|≥|3-t|，

即當t≥1時,|-1-t|=2,解得t=1;

若f(3)≥f(1),則

|3-t|≥|-1-t|，

即當t≤1時,|3-t|=2,解得t=1.

綜上所述,t=1.

解法2令u=x2-2x,x∈[0，3],則u∈[-1，3].考查y=|u-t|,u∈[-1，3]的圖像可知:函數的最大值只能在2個端點處取得，因此

解得t=1.

引申2數列{an}滿足an=a2+λn,且是遞增數列，求λ的取值范圍.

a1

故所求λ的取值范圍是λ>-3.

點評3此題因定義域的限制不能用導數求解.

有些函數雖然不是二次函數,但在一個區間上的最值也有類似的情形.

引申3求函數f(x)=lnx-ax(a>0)在[1，2]上的最小值.

解

當f(1)≤f(2),即0

[f(x)]min=f(1)=-a;

當f(2)≤f(1),即a≥ln2時，

[f(x)]min=f(2)=ln2-2a.

故

引申4f(x)=x4+ax3+2x2+b(a,b∈R).若對任意a∈[-2,2]，不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范圍.

解f(x)≤1在[-1,1]上恒成立等價于[f(x)]max≤1，x∈[-1,1].

f′(x)=x(4x2+3ax+4)，

得

Δ=9a2-64.

點評4f(x)的圖像連續.若f(x)在區間[a,c]上遞增，在區間[c,b]上遞減，則f(x)在[a,b]上的最小值是f(a)和f(b)中的最小者.

點評5f(x)的圖像連續.若f(x)在區間[a,c]上遞減，在區間[c,b]上遞增，則f(x)在上[a,b]的最大值是f(a)和f(b)中的最大者.