突破點(diǎn)差法解雙曲線中點(diǎn)弦問題的難點(diǎn)

●(英山縣第一中學(xué) 湖北英山 438700)

圓錐曲線的“中點(diǎn)弦”問題，習(xí)慣的處理方式是對(duì)橢圓和拋物線的問題優(yōu)先用“點(diǎn)差法”(或說(shuō)代點(diǎn)相減法)，對(duì)雙曲線問題優(yōu)先用“判別式法”(先設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一元后得到二次方程，然后運(yùn)用根的判別式等知識(shí)求解).但在實(shí)際中，許多學(xué)生習(xí)慣于開始都采用“點(diǎn)差法”，因而在求解某些雙曲線問題時(shí)，又不得不放棄原來(lái)的思路而改用“判別式法”.下面筆者提供2種突破方法,以供參考.

方法1用平面區(qū)域思想突破.

圖1

解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),則

兩式相減得

3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，

即

3(x1-x2)x0=(y1-y2)y0.

因?yàn)閤1=x2不合題意，所以

又因?yàn)轭}中的“中點(diǎn)弦”存在，所以

解得k的取值范圍是

方法2用回頭檢驗(yàn)法突破.

即先用點(diǎn)差法求出可能的直線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立，消去其中一個(gè)元得到關(guān)于另一個(gè)元的二次方程，再用Δ檢驗(yàn)這個(gè)方程是否有解.

解假設(shè)在雙曲線C上存在被點(diǎn)M(1，1)平分的弦，弦為AB，雙曲線中心為O(0，0)，A(x1,y1),B(x2,y2),則

兩式相減得

2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，

于是

所以直線AB的方程為

y-1=2(x-1)，

即

2x-y-1=0.

2x2-4x+3=0.

由Δ=-8<0,知此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)錯(cuò)誤.故雙曲線C上不存在被點(diǎn)M(1，1)平分的弦.