中學數學要加強“形同質異”的辨析教學

●(保定外國語學校 河北保定 071000)

在數學教學中經常會遇到一類形式相同但本質相異的問題，學生極易受形似的迷惑將他們混為一談,因此必須加強“形同質異”的辨析教學．具體說來，在平時練習或測試時可將這類問題放在一起討論，通過認真對比分析，充分暴露出他們之間細微但又屬于本質的差異，這必將大大提高學生分析問題、解決問題的能力．現舉例說明之.

1 定義域與有意義

(1)f(x)在區間(-∞,1]上有意義；

(2)f(x)的定義域為(-∞,1].

請分別求出滿足條件(1)和條件(2)的a的取值范圍．

辨析與解答 不少學生誤認為這2道題是一樣的，其實截然不同．條件(1)只說f(x)在(-∞,1]上有意義，并未說明其定義域就是(-∞,1]．若定義域為集合A，則只能得到(-∞,1]?A．條件(2)則明確指出f(x)的定義域就是(-∞,1]，因此這2道題有著迥然不同的解法．

(1)由題意可得

或

于是

結合題意得

解得

2 函數值變化范圍與函數值域

題組2 (1)函數y=3x2-(2m+6)x+m+3的值恒為非負數，求實數m的取值范圍;

(2)函數y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域為非負實數，求實數m的取值范圍．

辨析與解答 這2道題實在太像了！但經仔細辨析，發現有本質差異：在第(1)小題中,“函數y=3x2-(2m+6)x+m+3的值恒為非負數”是指“當自變量x在定義域內取一切值時，所對應的函數y的每一個值都必須大于等于0，但不一定要求y必須取到大于0的一切數”.而在第(2)小題中,“函數y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域為非負實數”是指“當自變量x在定義域內取一切值時，所對應的函數值必須且只能取到一切大于等于0的數”．由此可見，兩者貌似相同，實則迥異．

(1)由題意得,y=3x2-(2m+6)x+m+3≥0(m∈R)恒成立,因此關于x的函數的二次項系數3>0，于是

Δ=(2m+6)2-4×3(m+3)≤0,

解得-3≤m≤0，故m的取值范圍是[-3,0]．

(2)通過上面分析可知,應滿足

Δ=(2m+6)2-4×3(m+3)=0，

解得

m=-3或m=0，

即使函數y=3x2-(2m+6)x+m+3的值域為非負實數的m的值為-3或0．

3 奇數位必須是奇數與奇數必須在奇數位

題組3 從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中任取5個組成無重復數字的5位數.(1)奇數位必須是奇數；(2)奇數必須在奇數位．分別求出滿足條件(1)和條件(2)的5位數的個數．

4 對任意x恒成立與存在x成立

題組4 (1)若任意x∈[1,3]，使得不等式mx2+(m-3)x-3>0恒成立，求實數m的取值范圍;

(2)若存在x∈[1,3]，使得不等式mx2+(m-3)x-3>0恒成立，求實數m的取值范圍．

辨析與解答 原不等式可化為

(x2+x)m>3(x+1).

由x∈[1,3]，得

x2+x>0，

從而

對于第(1)小題,由題意可得m>[f(x)]max=3.而對于第(2)小題,由題意可得m>[f(x)]min=1．這正與恒成立問題相反，很容易混淆，應注意區分，以免出錯．

5 函數遞增與數列遞增

題組5 (1)設函數f(x)=x2+kx在[1,+∞)上是單調遞增函數，求k的取值范圍;

(2)若數列{an}的通項公式為an=n2+kn，且滿足an

辨析與解答 乍看2道題似乎一樣，我們注意尋求它們的“異”.第(1)小題的圖像是連續的，而第(2)小題的圖像是離散的，2道題都可以利用二次函數的圖像求解，都是考慮對稱軸與區間的關系，但是其區間是不同的。

6 單調區間與區間單調

題組6 (1)若函數f(x)=x2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)單調遞增，求實數a的取值范圍;

(2)若函數f(x)=x2-(3a-1)x+a2的單調遞增區間是[1,+∞)，求實數a的取值范圍．

辨析與解答 單調區間與區間單調是2個截然不同的概念.若函數f(x)在區間M上具有單調性，則在M的任一區間上f(x)具有相同的單調性，單調區間是其中最大的區間．

7 定義域與值域

題組7 (1)若函數y=lg(ax2+2x+a)的定義域為R，求實數a的取值范圍．

(2)若函數y=lg(ax2+2x+a)的值域為R，求實數a的取值范圍．

辨析與解答 (1)函數y=lg(ax2+2x+a)的定義域為R，即無論x為何實數，ax2+2x+a>0恒成立.令f(x)=ax2+2x+a，則f(x)的圖像應始終在x軸的上方，因此a>0且Δ=4-4a2<0，解得a>1．

(2)函數y=lg(ax2+2x+a)的值域為R，就是f(x)=ax2+2x+a要取遍一切正實數．當a=0時，f(x)=2x符合要求；當a>0時,Δ=4-4a2≥0，解得0

8 主元與次元

題組8 (1)對于任意x∈[0,4]，不等式x2+ax≥4x+a-3恒成立，求實數a的取值范圍;

(2)對于任意a∈[0,4]，不等式x2+ax≥4x+a-3恒成立，求實數x的取值范圍．

辨析與解答 (1)原不等式可轉化為f(x)=x2+(a-4)x-a+3≥0恒成立．

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是{a|a=2}．

(2)不等式可轉化為對任意a∈[0,4]，不等式f(a)=(x-1)a+x2-4x+3≥0恒成立．

當x=1時，對任意a∈[0,4],f(a)=0，原不等式恒成立．

當x≠1時，只要f(x)min≥0即可，因此

解得

x≤-1或x≥3.

故滿足條件的x的取值范圍是{x|x≤-1或x=1或x≥3}．

9 以點P為切點的切線方程與過點P的切線方程

題組9 (1)已知y=2x-x3,求以點P(1,1)為切點的切線方程;

(2)已知y=2x-x3,求過點P(1,1)的切線方程．

辨析與解答 這2道題的區別在于：第(2)小題包含第(1)小題的情況，而且除此之外，還有經過點P但不以其為切點的切線方程．

(1)y′=2-3x2，于是k=-1，切線方程為y-1=-(x-1)，即x+y-2=0為所求．

(2)當點P為切點時，同第(1)小題,可得切線方程為x+y-2=0．

當P不是切點時，設切點為Q(m,n),依題意可得

解得

因此以點Q為切點的切線方程為5x-4y-1=0．

綜上所述，滿足條件的切線方程為

x+y-2=0或5x-4y-1=0．

10 函數的自對稱與兩函數之間的對稱題組10

(1)若函數y=f(x)滿足f(x+a)=f(b-x)，則函數y=f(x)的對稱軸方程是________;

(2)函數y=f(x+a)與函數y=f(b-x)的圖像關于________對稱．

辨析與解答 這2道題目極易混淆.事實上，第(1)小題是考查一個函數自身圖像的對稱性的．而第(2)小題則是考查2個函數圖像之間的對稱性的．

(1)在函數y=f(x)的圖像上任取一點P(x0+a,y0),得

y0=f(a+x0)=f(b-x0)，

(2)在函數y=f(x+a)的圖像上任取一點P(x0,y0),得

y0=f(a+x0)=f[b-(b-a-x0)]，

題組11 已知函數y=f(x).

(1)若f(x)的定義域為[2，3]，求f(x+1)的定義域；

(2)若f(x+1)的定義域為[2,3]，求f(x)的定義域.

辨析與解答 對于第(1)小題,學生一般都知道該怎么做,而對于第(2)小題,許多學生不知道由函數f(x+1)的定義域如何求f(x)的定義域.其原因是:他們不明白在同一法則下,作用的對象可以不同,但對象的范圍必須相同.

(1)由f(x)的定義域為[2,3],得

2≤x+1≤3,

從而1≤x≤2,因此f(x+1)的定義域[1,2].

(2)由f(x+1)的定義域為[2，3]，得

2≤x≤3，

即

3≤x+1≤4，

于是f(x)的定義域為[3,4]．

在數學中,“形同質異”的問題是大量存在的，而學生對此往往有一種“親切”感，易于產生放松麻痹的心態，從而造成解題失誤.在教學中,通過對“形同質異”問題的對比與研究，透過“外貌”頗似的表層，必定能使學生逐漸澄清各種模糊概念，深入認識實質，深化鞏固并掌握知識，防止知識負遷移，從而能夠從各種“形式相同”的問題中抓住“實質不同”的要害，找到解決問題的正確途徑．