航空弧齒錐齒輪低噪聲和低安裝誤差敏感性設(shè)計(jì)

劉光磊，樊紅衛(wèi)，谷霽紅，江 平

（1.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安 710072；2.中國航空動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南株洲 412002）

1 引言

弧齒錐齒輪因具有傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)和汽車的傳動(dòng)系統(tǒng)中。傳動(dòng)誤差和齒面接觸印痕是評(píng)價(jià)弧齒錐齒輪傳動(dòng)性能和加工質(zhì)量的重要指標(biāo)。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法認(rèn)為表征齒面接觸印痕走向的嚙合跡線應(yīng)該與齒輪的根錐母線垂直[1]，但按這樣的方法設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪副對(duì)安裝誤差比較敏感，且用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法得到的弧齒錐齒輪副傳動(dòng)誤差曲線為分段的線性函數(shù)，在嚙合周期的轉(zhuǎn)換點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生較大的沖擊、振動(dòng)與噪聲[2]。

Faydor L.Litvin教授提出了齒面局部綜合法[2,3]，可以預(yù)控齒面的幾何形狀，能夠得到穩(wěn)定的接觸印痕和對(duì)稱拋物線型的傳動(dòng)誤差曲線，同時(shí)可以得到比較理想的小輪加工參數(shù)。在國內(nèi)，方宗德教授率先引進(jìn)了局部綜合法，并在此基礎(chǔ)上開展了諸多新的研究[4]。但這些研究都沒有將TCA（Tooth Contact Analysis，輪齒接觸分析）仿真所得到的實(shí)際傳動(dòng)誤差曲線與局部綜合法所預(yù)置的理論傳動(dòng)誤差曲線作對(duì)比，無法有效地證明該算法的正確性。

本文基于局部綜合法，對(duì)某型航空弧齒錐齒輪副進(jìn)行了齒面接觸仿真分析，得到了傾斜的直線型齒面嚙合跡線和對(duì)稱的拋物線型傳動(dòng)誤差曲線，并且，由TCA仿真得到的傳動(dòng)誤差曲線與預(yù)置的傳動(dòng)誤差曲線較好地吻合，有利于吸收齒輪副嚙合時(shí)的振動(dòng)與噪聲，并可以降低齒輪副對(duì)安裝誤差的敏感性，對(duì)于研制工作在高速、重載工況下的航空發(fā)動(dòng)機(jī)弧齒錐齒輪副具有十分重要的實(shí)際意義。

2 局部綜合法原理

局部綜合法是弧齒錐齒輪加工參數(shù)設(shè)計(jì)的最先進(jìn)方法之一。通過控制傳動(dòng)誤差曲線的2階導(dǎo)數(shù)和齒面在參考點(diǎn)處嚙合時(shí)的接觸狀態(tài)，來控制齒面的嚙合性能，并據(jù)此確定大輪和小輪的加工參數(shù)。

文獻(xiàn)[2，3]根據(jù)配對(duì)齒面∑(1)與∑(2)之間的曲率關(guān)系，給出了局部綜合法的基本方程組[2,3]

式中：系數(shù)ai1、ai2和ai3的詳細(xì)表達(dá)式見文獻(xiàn) [2，3]；和為嚙合點(diǎn)相對(duì)于齒面∑(1)的滑動(dòng)速度沿齒面 2 個(gè)主方向的分量。

加工弧齒錐齒輪副時(shí)，刀具切削錐面與齒面處于線接觸狀態(tài)，故式（1）的解不惟一。此時(shí)，有如下方程組成立[2,3]

當(dāng)加工好的2齒輪對(duì)滾時(shí)，2輪的齒面處于點(diǎn)接觸嚙合狀態(tài)，故式（1）有惟一解。此時(shí)，有如下方程成立[2,3]

3 齒面方程與齒面接觸分析

3.1 齒面方程

得到了齒輪副加工參數(shù)，便可由刀具齒面得到齒輪的齒面。通常，弧齒錐齒輪的小輪凹面主動(dòng)，大輪凸面從動(dòng)。以小輪凹面的形成過程為例，設(shè)Rc1為加工小輪凹面的外刀刀尖半徑，αc1為外刀壓力角，up和θp為外刀切削錐面坐標(biāo)，為外刀切削錐面徑矢，為外刀切削錐面法矢，則加工小輪凹面的外刀切削錐面如圖1所示。圖中陰影部分表示刀具的實(shí)體，反之表示空域。

在與小輪刀具相固連的坐標(biāo)系Sc1中，加工小輪凹面的外刀切削錐面方程和法矢[3]為

圖1 加工小輪凹面的外刀切削錐面

小輪齒面是由刀具切削錐面依次經(jīng)過搖臺(tái)坐標(biāo)系、機(jī)床坐標(biāo)系、輔助坐標(biāo)系和小輪自身坐標(biāo)系4次轉(zhuǎn)化后得到的。若用mi表示機(jī)床坐標(biāo)系（i=1表示小輪，i=2表示大輪）、cri表示搖臺(tái)坐標(biāo)系，ci表示刀具坐標(biāo)系、p表示小輪坐標(biāo)系（g表示大輪坐標(biāo)系），則小輪凹面方程和法矢[3]為

式中：f1為描述小輪安裝位置的輔助坐標(biāo)系；Mmn為從坐標(biāo)系n向m轉(zhuǎn)化的坐標(biāo)變換矩陣。

對(duì)各坐標(biāo)變換矩陣的詳細(xì)表述，以及與小輪凹面配對(duì)嚙合的大輪凸面的方程和法矢見文獻(xiàn)[3]。

3.2 齒面接觸分析

弧齒錐齒輪副嚙合時(shí)，2齒輪的齒面從嚙入到嚙出始終連續(xù)相切接觸，故在嚙合固定坐標(biāo)系Sh中，2齒面擁有公共的接觸點(diǎn)，且在公共接觸點(diǎn)處有公共法線，故有如下TCA基本方程組成立[3]

式中：θp、θg為加工小、大輪的刀刃位置；φcr1、φcr2為加工小、大輪的搖臺(tái)轉(zhuǎn)角，它們是描述小、大輪齒面的刀具參數(shù)；φ1、φ2為嚙合時(shí)小、大輪的轉(zhuǎn)角；矢量和表示齒面上任1點(diǎn)處的徑矢和法矢。

求解式（8）可以得到弧齒錐齒輪副的齒面接觸印痕和傳動(dòng)誤差曲線。

4 傳動(dòng)誤差與接觸印痕

4.1 傳動(dòng)誤差

進(jìn)行TCA仿真時(shí)，傳動(dòng)誤差函數(shù) δ(φ1)[3,4]按下式計(jì)算

式中：φ10和φ20為2齒輪由參考點(diǎn)的加工狀態(tài)到嚙合狀態(tài)需要轉(zhuǎn)過的角度；z1和z2為2齒輪的齒數(shù)。

局部綜合法預(yù)置的理論傳動(dòng)誤差按下式計(jì)算

4.2 接觸印痕

接觸印痕包括齒面嚙合跡線的傾斜方向和嚙合點(diǎn)處的瞬時(shí)接觸橢圓。基于局部綜合法設(shè)計(jì)的嚙合跡線可以在一定范圍內(nèi)傾斜，傾斜的嚙合跡線能夠提高齒輪副的重合度，保證嚙合過程的平穩(wěn)進(jìn)行，且對(duì)安裝誤差不大敏感，在存在輕微安裝誤差的情況下仍能夠正常工作。瞬時(shí)接觸橢圓的大小則與輪齒的剛度和傳動(dòng)時(shí)所承受的載荷等因素有關(guān)。

4.2.1 齒面接觸跡線

根據(jù)預(yù)置的大輪齒面接觸跡線的切線方向與大輪刀具切削錐面第1主方向之間的夾角η2，由下式可求得小輪齒面嚙合跡線的切線方向角

4.2.2 齒面接觸橢圓

由彈性力學(xué)可知，點(diǎn)接觸弧齒錐齒輪副在承載時(shí)會(huì)發(fā)生彈性變形，此時(shí)2齒面將由點(diǎn)接觸延展為1小塊面積接觸。該接觸面積在2齒面的公共切平面上的投影為1個(gè)近似的橢圓斑點(diǎn)。假設(shè)瞬時(shí)接觸橢圓的長半軸長度為a、短半軸長度為b，則有[2,3]

式中：ε為齒面間的壓限量；A?和B?分別為長、短半軸影響因子，其計(jì)算公式見文獻(xiàn)[3]。

5 算例

對(duì)38/43正交傳動(dòng)的航空弧齒錐齒輪副進(jìn)行了齒面設(shè)計(jì)。以“小輪左旋、大輪右旋”的情況為例，輪坯幾何參數(shù)見表1，大輪加工參數(shù)見表2，局部綜合參數(shù)見表3，小輪加工參數(shù)見表4。圖2、3分別為“小輪凹面推動(dòng)大輪凸面”時(shí)的齒面接觸印痕和傳動(dòng)誤差曲線，圖4、5分別為“大輪凹面推動(dòng)小輪凸面”時(shí)的齒面接觸印痕和傳動(dòng)誤差曲線。各圖中的3條實(shí)線表示相鄰3對(duì)輪齒所生成的實(shí)際傳動(dòng)誤差曲線，中間的1條虛線為預(yù)置的理論傳動(dòng)誤差曲線。進(jìn)行局部綜合和TCA時(shí)，取格里森公司推薦的齒面壓限量0.00635 mm。設(shè)計(jì)要求的傳動(dòng)誤差幅值為7″。

表1 輪坯幾何參數(shù)

表2 大輪加工參數(shù)

表3 局部綜合參數(shù)

表4 小輪加工參數(shù)

圖2 “小輪凹面推動(dòng)大輪凸面”時(shí)的齒面接觸印痕

圖3 “小輪凹面推動(dòng)大輪凸面”時(shí)的傳動(dòng)誤差曲線

圖4 “大輪凹面推動(dòng)小輪凸面”時(shí)的齒面接觸印痕

圖5 “大輪凹面推動(dòng)小輪凸面”時(shí)的傳動(dòng)誤差曲線

從圖2～5中可以看出，2種情況下的齒面嚙合跡線基本都為直線，且接觸印痕沒有發(fā)生畸變。這是因?yàn)辇X面接觸印痕是由齒輪副加工參數(shù)完全且惟一特性決定的；傳動(dòng)誤差曲線為對(duì)稱性較好的拋物線，實(shí)際傳動(dòng)誤差曲線與預(yù)置的理論傳動(dòng)誤差曲線基本吻合，傳動(dòng)誤差的幅值約為7.0157″，基本滿足設(shè)計(jì)要求。

6 結(jié)論

（1）通過齒面局部綜合與接觸分析，將某型航空弧齒錐齒輪副的齒面嚙合跡線設(shè)計(jì)成1條傾斜角度為21.478°（指大輪齒面參考點(diǎn)處的接觸跡線切線方向與大輪刀具切削錐面第1主方向之間的夾角）的直線，將傳動(dòng)誤差曲線設(shè)計(jì)成1條幅值為7.0157″的對(duì)稱拋物線，有利于降低傳動(dòng)噪聲和對(duì)安裝誤差的敏感性。

（2）TCA得到的傳動(dòng)誤差曲線與預(yù)置的理論傳動(dòng)誤差曲線基本吻合。

“小輪凹面推動(dòng)大輪凸面”和“大輪凹面推動(dòng)小輪凸面”2種情況的仿真結(jié)果都證明了上面2個(gè)結(jié)論，說明了本文所述方法的正確性。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，通常只采用“小輪凹面推動(dòng)大輪凸面”的方法。

[1]L itvin F L,Fuentes A,Hayasaka K.Design,manufacture,stress analysis,and experimental tests of low-noise high endurance spiral bevel gears[J].Mechanism and Machine Theory,2006,41:83-118.

[2]Litvin F L著.齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論[M].國楷，等譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

[3]Litvin FL,ZhangYi.Local Synthesis and Tooth Contact Analysis of Face-Milled Spiral Bevel Gears[R].NASA Office of Management Scientific and Technical Information Division,1991.

[4]方宗德,劉濤,鄧效忠.基于傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)的弧齒錐齒輪嚙合分析[J].航空學(xué)報(bào),2002,23(3):226-230.

[5]Litvin F L,Wang A G,Handschuh R F.Computerized generation and simulation of meshing and contact of spiral bevel gears with improved geometry[J].Computer methods in applied mechanics and engineering,1998,158:35-64.