一種三站時差定位的布站優化算法

(1.解放軍電子工程學院，合肥 230037；2. 解放軍61764部隊，海南 三亞 572013)

1 引 言

三站時差定位是一種無源定位方法，利用目標位于地球表面的約束，結合三站分別對目標進行時差測量形成的兩路時差數據，實現對目標的三維定位。因其具有無源被動工作、定位精度高[1-2]等優點，在雷達、無線通信定位[3]、水聲定位[4]等領域得到了廣泛應用。

對于時差定位系統，目標的定位誤差是與目標相對于測量站的幾何關系密切相關的[1,5]。因此，在時差測量誤差及測量站站址誤差等誤差因素一定的情況下，對測量站布站進行優化，是提高定位精度的有效手段。目前的文獻多是對時差定位精度與布站關系的研究，定性地選擇某種布站形式為最優布站[5-6]。本文以提高一定的目標區域的整體定位精度為目標，運用基于多目標規劃的最優化算法建立數學模型，構造最小最大評價函數，以使目標區的最大水平定位精度因子(HDOP)最小的布站為最優布站。

2 基本原理

2.1 定位模型

假設3個測量站在地心直角坐標系下的坐標分別為xi,yi,zi，i=0,1,2，接收來自位于地球表面某一坐標x,y,z的目標點信號，可以得兩路時差數據對應于兩個時差方程，聯立WGS-84地球表面方程，即可建立目標點定位方程組[7-8]：

(1)

圖1 三站時差定位系統示意圖Fig.1 Schematic of the tri-station TDOA location system

2.2 多目標規劃簡介[9]

多目標規劃是一種常見的最優化模型，相對于單目標規劃問題，其有多個目標函數。數學模型為

minF(X)=min[f1(X),f2(X),…,fn(X)]
s.t.G(X)≤0

(2)

式中，X=[x1,x2,…,xm]為決策變量；G(X)=[g1(X),g2(X),…,gp(X)]為約束條件；gi(X)(i=1,2,…,p)可以是線性函數，也可以為非線性函數，當p=0時，為無約束多目標規劃。

3 水平定位精度因子(HDOP)

定位精度是定位系統最重要的指標之一。這里，以水平定位精度因子(HDOP)作為定位精度的度量準則。

對式(1)的前兩式兩邊取微分可得[8]：

c·dΔti+ui·dXi-u0·dX0(i=1,2)

(3)

其中：

對式(1)最后1式兩邊微分[8]：

(4)

其中：

k=1/(1-e2)2

結合式(3)與式(4)，有：

A·dX=c·dΔT+dU

(5)

其中：

由式(5)可得：

dX=A-1(c·dΔT+U)

設時差測量誤差、各測量站位置誤差均值為0，且不相關，則目標輻射源的定位誤差協方差矩陣為

PdX=EdXdXT=

A-1c2EdΔTdΔTT+EdUdUTA-1T

(6)

式(6)得到的是地固直角坐標系中定位的三維定位誤差協方差矩陣，考慮到一般對輻射源的定位精度指標是指在大地坐標下的經緯高的誤差。因此需將此協方差矩陣轉換到大地坐標下[10]：

PdL=J·PdX·JT

(7)

其中：

式(7)中PdL中PdL(1,1)、PdL(2,2)分別為經度、緯度分量的定位誤差方差，將其轉換為距離的方差分別為RL、RB。

定義水平方向的定位精度因子：

(8)

以此HDOP值作為定位精度的度量準則。

4 基于多目標規劃的布站優化

4.1 布站優化原則

這里考慮的布站優化問題是在一定的布站區域里，合理布設3個測量站的位置，使定位系統對于一定目標區域的整體定位精度達到最優。因此，布站優化問題主要考慮以下幾點原則：

(1)3個測量站要布設在一定的布站區域內；

(2)3個測量站之間的距離滿足通視條件；

(3)3個站的覆蓋范圍均能覆蓋整個目標區域；

(4)使定位系統對目標區域的整體定位精度最優。

4.2 布站優化問題的多目標規劃評價函數構造

對于多目標規劃問題，其求解的主要思路是設法將多目標問題轉化為單目標問題，然后以單目標規劃的求解方法求解，而轉化的關鍵是依據決策者的需求，合理構造評價函數[9]。

結合4.1節提出的布站優化問題需考慮的原則，這里選擇最小最大(minimax)法構造評價函數。這種決策方法是采取穩妥的保守策略，即在最壞的情況下，尋求最好的結果。按照此策略，構造如下評價函數：

φ(X)=max[f1(X),f2(X),…,fn(X)]=

(9)

這樣，就將多目標規劃問題轉化為單目標規劃問題，目標函數可寫為

(10)

式中，D=X|G(X)≤0，為決策變量的可行域。

4.3 基于多目標規劃的布站優化

按照4.2節介紹的最小最大評價函數構造法，可將基于多目標規劃布站優化問題，寫成如下的數學模型。

假設目標區域范圍為：經度方向區間lmin,lmax；緯度方向區間wmin,wmax；三站高度相同，均為h。

目標函數：

min{max[HDOP1(X),HDOP2(X),…,HDOPn(X)]}=

(11)

其中，X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]為決策變量；li(i=1,2,3)為待優化3個測量站經度；wi(i=1,2,3)為緯度；n表示將目標區域按一定規則劃分為n部分，當n足夠大時，可認為目標區域由n個目標點構成。

HDOPi(X)(i=1,2,…,n)表示三站坐標為某X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]時，對第i個目標的水平定位精度因子的大小。

約束條件[11]：

(12)

其中：

上述布站優化模型基本思想是使目標區域內最大的定位誤差(這里為HDOP)最小，這樣就可以保證目標區域的整體定位精度，同時，附加約束條件，以滿足4.1節提出的布站優化原則。

求解上述模型的算法是對布站區域內的每一種布站形式進行循環搜索，對于每一種布站形式首先判斷其是否滿足約束條件，若不滿足，則直接進入下一種布站形式的搜索判斷；若滿足，則計算其對目標區域內所有點的HDOP值，取其中最大的HDOP值，并記錄相應的布站形式(決策變量X，即各測量站坐標)。而后進入下一種布站形式的計算，如此循環，取所有保存的最大HDOP值最小的一種布站形式為滿足要求的最優布站。

5 仿真分析

仿真實驗假設目標區域的范圍為東經121.4°～122.6°，北緯22.0°～22.8°，目標高程為0；布站區域的范圍為東經121.0°～123.0°，北緯23.0°～24.0°，高程2 000 m。

將目標區域按經、緯度步長均為0.05°劃分為n′個區域：

n′=[(122.6-121.4)/0.05]×

[(22.8-22.0)/0.05]=24×16

則可取n=25×17=425個點表示整個目標區域。

同樣將布站區域按照經、緯度步長均為0.000 01度劃分為m′個區域：

m′=[(123.0-121.0)/0.00001]×

[(24.0-23.0)/0.00001]=

200000×100000

則可取m=200001×100001種布站形式。

取滿足約束條件的初值X0：

X0=[122.300,23.050,121.600,23.080,

121.950,23.125]

運用上述基于多目標規劃的布站優化方法，對m種布站形式逐一搜索判斷，可得優化結果X*：

X*=[122.920,23.000,121.080,23.000,

122.054,23.467]

設定位系統的時差測量誤差為10 ns，測量站在大地直角坐標系下x、y、z各方向誤差均為5 m。圖2～4分別為所設初值X0對應的HDOP等值線分布圖、最優布站X*的HDOP等值線分布圖及覆蓋范圍。圖中五角星表示3個測量站的位置，陰影區域表示目標區域，由三角形圍成的矩形框表示布站區域的范圍。圖2和圖3中曲線為HDOP等值線，圖4中曲線為三站各自的覆蓋范圍。

圖2 布站初值的HDOP等值線分布Fig.2 Distribution of HDOP isoline of the initial station layout

圖3 優化布站的HDOP等值線分布Fig.3 Distribution of HDOP isoline of the optimal station layout

圖4 優化布站的覆蓋范圍Fig.4 Overlay range of the optimal station layout

由圖2～4可以看出，與所設初值，即初始布站形式相比，運用基于多目標規劃的布站優化方法所得的布站優化結果，目標區域的整體定位精度明顯提高，同時又保證了測量站對整個目標區域的覆蓋。

6 結束語

本文以水平定位精度因子(HDOP)為定位精度的度量準則，基于提高定位精度的考慮，提出了一種基于多目標規劃的三站時差定位布站優化方法。仿真結果表明，運用該方法對測量站布站進行優化，效果明顯，既能保證系統覆蓋范圍、各站間通視等約束條件，同時又能使目標區域的整體定位精度達到最優。在實際應用中，可根據經驗信息，各站可設不同的小范圍搜索區域，以提高優化運算效率。

參考文獻：

[1] 孫中康, 周一宇, 何黎星. 單多基地有源無源定位技術[M]. 北京: 國防工業出版社, 1996:181-195.

SUN Zhong-kang, ZHOU Yi-yu, HE Li-xing. Mono-static, multi-static active and passive location techniques[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 1996:181-195.(in Chinese)

[2] 朱慶厚. 到達時間差 ( TDOA)測向定位研究[J]. 電訊技術, 2007, 47(1): 53-56.

ZHU Qing-hou. Study on TDOA Direction Finding and Location Measurement [J]. Telecommunication Engineering, 2007, 47(1): 53-56. (in Chinese)

[3] Caffery J J. Wireless Location in CDMA Cellular Radio Systems [M]. [S.l.]：Kluwer Academic Publishers, 1999.

[4] Chan Y T, Ho K C. A Simple and Efficient Estimator for Hyperbolic Location [J]. IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(8):1905-1915.

[5] 錢鐿,陸明泉,馮振明.基于TDOA原理的地面定位系統中HDOP的研究[J].電訊技術,2005,45(4):135-138.

QIAN Yi,LU Ming-quan,FENG Zhen-ming.Research on the HDOP of a TDOA Land-Based Positioning System [J].Telecommunication Engineering,2005,45(4):135-138.(in Chinese)

[6] 王成, 李少洪, 黃槐. 測時差定位系統定位精度分析與最優布站[J]. 火控雷達技術, 2003, 32(1): 1-6.

WANG Cheng,LI Shao-hong,HUANG Huai.Location Accuracy Analysis and Optimal Distribution of TOA Difference Location System [J].Fire Control Radar Technology,2003,32(1):1-6.(in Chinese)

[7] 謝愷, 鐘丹星, 鄧新蒲,等. 一種空間時差定位的新算法[J]. 信號處理, 2006, 22(2): 129-135.

XIE Kai, ZHONG Dan-xing, DENG Xin-pu,et al. A new algorithm for the time difference location in aerospace [J]. Signal Processing, 2006,22(2):129-135. (in Chinese)

[8] 鐘丹星,鄧新蒲,周一宇.基于WGS-84橢球模型的衛星測時差定位精度分析[J].電子對抗技術,2002,17(5):18-21.

ZHONG Dan-xing, DENG Xin-pu, ZHOU Yi-yu. Precision Analysis of Satellites DTOA Location Based on WGS-84 Ellipsoid Model[J].Electronic Warfare Technology, 2002, 17(5): 18-21. (in Chinese)

[9] 陽明盛, 羅長童. 最優化原理、方法及求解軟件[M]. 北京: 科學出版社, 2006: 90-92.

YANG Ming-sheng, LUO Chang-tong. Optimization theory, methods and software [M]. Beijing: Science Press, 2006: 90-92. (in Chinese)

[10] 邊少鋒, 李文魁. 衛星導航系統概論[M]. 北京: 電子工業出版社, 2005: 22-27.

BIAN Shao-feng, LI Wen-kui. Introduction to Satellite Navigation Systerm [M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2005: 22-27. (in Chinese)

[11] 丁鷺飛，耿富錄. 雷達原理[M]. 西安: 西安電子科技大學出版社, 2002: 158-160.

DING Lu-fei, GENG Fu-lu. Radar Theory [M]. Xi′an: Xidian University Press, 2002: 158-160. (in Chinese)