一種改進的FDTD網格剖分算法

(空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原 713800)

1 引 言

在采用時域有限差分(Finite Difference Time Domain,FDTD)方法對模型進行電磁場的數值計算時，先必須對所考慮的模型進行剖分。網格剖分的好壞，不僅影響到計算結果的精度，而且對計算過程的收斂程度起著決定性的作用，因而一種好的網格剖分算法對整個FDTD計算來說有著舉足輕重的意義。網格的描述應符合電磁場的變化，如果在每個計算域中都用細網格來描述，勢必要占用計算機過多的資源和較長的運行時間；如果在每個計算域中采用粗網格來描述，則將會給FDTD的計算帶來較大的誤差。為了解決這一矛盾，通常采用非均勻FDTD法[1-6]。文獻[4]中介紹了一種使網格尺寸在空間按一定的規律擴展的非均勻網格法，其基本思想是使網格密度沿軸向按等比級數增大。這種網格生成的方法，由于在整個網格空間都是用等比級數的方式增長得到的，使得6個場分量的迭代式的一致性較好。李響等人[2]在擴展網格算法的基礎上改進了分區擴展網格的算法，并在其編寫的非均勻剖分軟件中用到了分區遞變的非均勻網格算法并實現了設置和剖分結果的可視化。周國祥等人[3]同樣也以可視化的形式實現了非均勻網格剖分，提出了一種很具通用性的較合理的非均勻網格剖分算法，即分區遞變結合粗網格的非均勻網格算法。

分區遞變的非均勻網格剖分方法與一般的非均勻網格相比有了較大的改進，但也存在著一定的局限性：網格的最小尺寸和比例常數要人為設定；在算法處理的過程中，基本上是通過調整最小網格尺寸Δxmin及各網格的對應比例Rx使其能滿足要求，此過程不但結果不好控制，而且可能會產生一些意想不到的結果。對于Δxmin及Rx如何進行適當的調整才能得到比較理想的結果，文獻中并沒有給出合理的方法。基于此算法的基本思想，本文提出了一種更加合理的網格自動生成的算法。

2 改進的分區遞變非均勻網格剖分算法

首先，通過AutoCAD、3DMax等第三方繪圖軟件畫出模型的立體圖，以特定的格式將其導出；然后，通過程序將該文件讀入，就可以得到此模型的結構，同時也可以得到模型在3個軸向上的分界面及不連續點的坐標。

以x軸方向為例，假設通過模型的讀入，得到在x軸方向的一系列不連續點的坐標從小到大分別為x0,x1,x2,…，xn。依據媒質特性及所計算的頻率范圍，我們可以得到空間最大網格的尺寸Δxmax。依據Δxmax，取Δxmin=Δxmax/5，此精度一般可以滿足計算中不連續點處的需要，過小則由于同時還要考慮到時間步的關系，使得時間步過小，要使得內部的場穩定必然增加所需要的時間步數，此值也依據實際情況手動設定。要保證計算空間場的穩定性，相鄰的網格間的尺寸應該平緩地變化而不是突變，防止數值色散，為此，設定比例系數Rx≤1.3。

由于x0與xn處于計算空間的邊緣，其網格將延展到PML層中，此處的網格作為第三種形式予以考慮。而中間由x1到xn-1之間的網格均屬于由細網格到粗網格再到細網格的變化過程。

定義靠近分界點的網格均為最小網格Δxmin，以最大的比例系數1.3增大，直到達到最大網格長度Δxmax，由此可以求得以此規律增大可以得到的最大網格數ΔNmax及空間長度ΔLmax。而ΔNmax滿足如下關系式：

(1)

即其增長所達到的最大尺寸小于保證在計算空間內收斂的最大值Δxmax，若繼續增大將大于這一收斂條件。由此可以得到：

(2)

式中，LowI()表示對所求得的數向下取整，如LowI(9.2)=9。在得到ΔNmax后，可以求得按此規律得到的最大空間長度：

(3)

令ΔL=xi-xi-1(1

2.1 中間網格值小于Δxmax

設當半區間網格數為n時，網格剛好達到或超過半空間長度ΔL/2，即：

(4)

(5)

(6)

n=LowI(ΔL/Δxmin)

(7)

在此區間內可取Δx=ΔL/n。

2.2 中間網格值等于Δxmax

定義除去兩邊的遞增網格長度，中間剩余部分的總長度為ΔL′=ΔL-2ΔLmax。中間的網格長度均為Δxmax，網格個數為n，則有：

n=UpI(ΔL′/Δxmax)

(8)

2.3 邊緣網格

邊緣的網格由于此處不存在不連續性，故[x0,x1]區間為從x1向x0網格尺寸遞增，而在[xn-1,xn]區間為由xn-1向xn網格尺寸遞增。此區間一般大于3個網格，由于是單調遞增，不存在雙邊網格數的問題，故此處只需考慮大于3個網格的情況。此處如果ΔL<ΔLmax，則按照中間網格小于Δxmax的方式進行單邊帶處理；如果ΔL≥ΔLmax，則按照中間網格大于Δxmax的方式進行單邊帶處理。

由以上3種情況可以得到整個x軸方向分區間在以上3種形式下的剖分算法，在y軸方向和z軸方向可以依據此算法進行同樣的剖分。

3 剖分實例

根據以上算法，應用VC++編程對一個微帶貼片天線和一個低通濾波器模型進行剖分，結果如圖1～4所示。由圖可以看出，在不同媒質的交界面和金屬邊界條件處網格都采用最小尺寸，這樣在得到最小網格數的同時，最大限度地避免了網格尺寸所帶來的數值色散。

圖1 微帶貼片天線Fig.1 Microstrip patched antenna

圖2 剖分后的微帶貼片天線網格Fig.2 The divided grids for microstrip patched antenna

圖3 低通濾波器Fig.3 Lower-passed filter

圖4 剖分后xy平面的網格Fig.4 The divided grids in xy plane

4 結 論

采用改進算法所得空間網格的尺寸，在整個空間區域內并不是簡單的遞增關系，這一特性使得空間網格不但能夠避免數值色散，而且由于與一般算法相比其最大網格尺寸可取得更大一些，故其總的網格數相對其它算法來說也可以取得更少一些。同時，由于算法采用分區處理及遞增網格與最大網格相結合的方法，既使小網格出現在場變化劇烈的區域，又保證了場變化緩慢的區域均為大網格。與普通的剖分算法相比，這種剖分算法可產生更少的網格數，大大縮短了計算時間。由于這種剖分過程完全可由程序自動完成，因而該算法可以很好地應用于各種非均勻FDTD網格剖分程序。

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