基于最小二乘擬合的墻體傳熱系數計算方法

【關鍵字】動態分析法Matlab曲線擬合 熱流計法 最小二乘擬合

一 引言

在建筑物圍護結構主體部位傳熱系數檢測中，熱流計法是目前國內外常用的現場測試方法。在溫度和熱流變化較大的情況下，采用動態分析方法可從對熱流計測量數據的分析，求得建筑物圍護結構的穩態熱性能。

在測量中獲取的數據均為隨機數據，它們是由一些離散的數據組成，單就獲得的原始數據本身來說根本反映不出事物的本質。如何從這些離散的數據中找出觀測數據的變化規律？用Matlab進行數據的擬合可以形象直觀地發現所得數據體現出來的規律性。在進行分析時，通常可采用曲線擬合法。曲線擬合法的目的是尋找一條光滑曲線，即對觀測的幾個變量進行多次觀測，從而求出反映變量之間關系的相對函數，在某種準則下最佳地擬合數據。

二 曲線擬合的思想

如果不要求所構造的函數g（x）精確的通過所有由離散數據所確定的離散點，而只要求g（x）是給定函數類H中的一個函數，并且要求按照某種準則g（x）是相對與同一函數類H 中的其他函數而言達到最優的。即我們希望找到一條曲線，既能反映給定數據的一般趨勢又不至于出現局部較大波動。在這種逼近方式下，只要所構造的近似函數g（x）與被逼近函數f（x）在區間[a，b]上的偏差滿足某種要求即可。但是如何選取這個函數模型，這就是用最小二乘法解決問題的基本環節，即如何確定函數類H，也即確定g（x）所具有的具體的形式。用最小二乘法求得的近似函數逼近原來函數的效果與函數類的選取密切相關，這不是一個單純的數學問題，還與其他領域的一些專門知識和經驗有關。在數學上，通常將數據點（xi，yi）描繪在坐標紙上，然后根據這些點的分布規律選擇適當的函數類。而在得不到這種信息時，我們往往選擇多項式或樣條函數作為擬合函數，尤其是當不知道該選擇什么樣的擬合函數時，通常可以考慮選擇樣條函數來擬合。

1.多項式擬合

有時所給的數據點的分布并不一定近似的呈一條直線，這時若仍用直線擬合顯然是不合適的，對于這種情況，可以考慮用多項式擬合。多項式方程的一般形式是：

f（x）=a0+a1x1+a2x2+……+amxm

為得到函數模型,關鍵是解出多項式前面的系數a0，a1…am。

2.利用polyfit函數進行多項式擬合

在Matlab 中曲線擬合的形式非常簡單，它的形式是：P=poly fi t（x，y，n）

該擬合函數的結果將保證在數據點上的擬合值與數據值之差的平方和最小，即滿足最小二乘法準則標準的最小二乘曲線擬合。由實測數據構造n 階多項式，并返回多項式的系數p，n 是多項式的次數，n=1 時就是線性擬合。一般說來，n+1 個數據點可唯一確定n 階多項式。如果數據是非常準確的，那么提高擬合的次數，可以使擬合的曲線更準確。但是如果數據本身有很大的誤差，則隨著多項式的次數的提高，曲線將變得不夠光滑，預測值將會出現較大的偏差。n 的選擇隨已知數據點的分布規律而定。

三 動態分析法

在建筑物圍護結構主體部位傳熱系數檢測中，熱流計法是目前國內外常用的現場測試方法。在溫度和熱流變化較大的情況下,采用動態分析方法可從對熱流計測量數據的分析，求得建筑物圍護結構的穩態熱性能。動態分析方法是利用熱平衡方程對熱性能的變化進行分析計算的。在數學模型中圍護結構的熱工性能是用熱阻R和一系列時間常數τ表示的。未知參數（R，τ1，τ2，τ3…）是通過一種識別技術利用所測得的熱流密度和溫度求得的。

1.動態分析方法基本步驟如下：

測量給出在時刻(i從1至N)測得的N組數據，其中包括熱流密度（qi），內表面溫度（θli）和外表面溫度（θEi）。

兩次測量的時間間隔為△t，定義為：兩次測量的時間間隔為△t，定義為：

在ti時的熱流密度是在該時刻以及此前所有時刻下溫度的函數：

外表面溫度的導數θEi與上式類似。

K1，K2以及Pn和Qn是圍護結構的特性參數，沒有任何特定意義.它們與時間常數τn有關。變量βn是時間常數τn的指數函數：

公式(2)中的n項求和是對所有時間常數的，理論上是一個無限數。然而，這些時間常數（τn）和βn一樣，隨著n的增加而迅速減小。因而只需幾個時間常數(實際上有1至3個就夠了)就足以正確地表示q，θE和θI之間的關系。

假定選取的時間常數為m個(τ1，τ2，…，τm)，等式(2)將包含2m+3個未知參數，它們是：

對于2m+3個不同時刻下的（2m+3組）數據將公式(2)寫2m+3次就得到一個線性方程組。對該方程組求解，就可確定這些參數，特別是熱阻R。然而為了完成公式(2)中的j項求和，尚需附加p組數據。最后，為了估計隨機變化，還需要更多組測量數據。這樣就形成了一個超定的線性方程組，該方程組可采用經典的最小二乘擬合法求解。

2.Matlab數據處理過程及仿真

由公式

可知qi、θli、θEi為已知數，R，K1，K2，P1，Q1，P2，Q2，…，Pm，Qm未知數。

利用Matlab軟件處理過程如下：

（1）輸入數據：

x=[19.548 23.234 21.652 21.78 21.198 21.086 21.07 ]；

y1=[26.76 26.948 26.885 26.927 26.938 26.906 26.917 ]；

y2=[17.229 17.25 17.25 17.25 17.26 17.292 17.333 ]；

[p1,S]=poly fi t(x,y1,1)；

[p2,S]=poly fi t(x,y2,1)；

p1,p2

（2）得到擬合方程

y1=0.0467x+25.9001

y2=17.2661

3.對傳統方法的改進

傳統的方法為算術平均法，計算如下：

R—圍護結構主體部位的熱阻（m2K/W）；

qj—圍護結構主體部位熱流密度第j次測量值（W/m2）；

θli—圍護結構主體部位內表面溫度第j次測量值（℃）；

θEi— 圍護結構主體部位外表面溫度第j次測量值（℃）。

最小二乘的動態分析法計算如下：

與傳統的方法相比，最小二乘的動態分析法經過曲線的擬合增加了一次項，具有更高的精確度。

四 結論

利用動態分析法和Matlab軟件的數據擬合工具箱對建筑物的節能檢測參數數據進行了處理，并利用實際數據進行了數據仿真，并和傳統的方法進行了比較。與傳統方法相比較，極大的提高了檢測的科學性和精確性。具有較高的實用價值。