引導學生建立無理數(shù)的數(shù)感
——以的教學為例

●郜青林 (溫嶺市第九中學 浙江溫嶺 317500)

從有理數(shù)到實數(shù)，是人類對“數(shù)”的認識的一個巨大飛躍，其中無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)功不可沒.“有多大”是人教版八年級上冊中的內容，引導學生認識“有多大”既能夠幫助學生建立無理數(shù)的概念，也有助于建立學生的數(shù)感.

理解數(shù)感、讓學生在數(shù)學學習過程中建立數(shù)感，是數(shù)學課程標準十分強調和重視的問題.所謂數(shù)感，狹義的理解就是數(shù)字感，是指人腦對于數(shù)字或數(shù)字運算的直覺，即對于數(shù)字或數(shù)字運算的洞察與領悟;而廣義的理解就是數(shù)學感，是指人腦對數(shù)學對象的直覺，即對于數(shù)學對象的洞察與領悟［1］.在關于數(shù)學學習內容的說明中，《課程標準》描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)，包括“理解數(shù)的意義;用多種方法來表示數(shù);能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關系;能用數(shù)來表達和交流信息;能為解決問題而選擇適當?shù)乃惴?能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋”.并且對無理數(shù)的教學提出了如下的要求，“了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應;能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍”［2］.那么，對“有多大”的教學，教師該如何設計才能有效地引導學生理解無理數(shù)，并建立數(shù)感呢?以下是筆者的一點嘗試，供參考.

1 創(chuàng)設情境，感知的存在

做一做 用2個邊長為1的正方形(事先準備好的)剪一剪、拼一拼，設法得到一個大的正方形(分小組，放手由學生自己去實踐，教師掌握各組的進程，并作指導).

學生的幾種方案如下：

圖1

生1：把2個小正方形都沿著對角線剪開，得到4個等腰直角三角形.把它們的直角的頂點重合按順序拼接，如圖1所示.

生2：把一個小正方形沿著2條對角線剪開，得到4個等腰直角三角形，把他們的斜邊與另一個小正方形的邊重合拼接，如圖2所示.

圖2

生3：把2個小正方形的某條邊重合排列在一起，沿著如圖3所示的虛線剪開(其中剪開點分別為中點)，并按照如圖4所示拼接.

圖4

圖3

師：大家拼得很好，這樣得到了一個面積是多少的正方形?

生：面積為2.

師：已知這個正方形的面積是2，那么它的邊長怎么表示呢?

生4：設邊長為x，則x2=2!

師：那x可能是整數(shù)嗎，可能是分數(shù)嗎，可能是有理數(shù)嗎?

生5：不可能.

師：我們以前學習的數(shù)平方后都不會等于2，而要知道哪個數(shù)的平方等于2，那就必須引入一個新的符號來表示它，這就是根號.于是，用這樣的記號來表示面積為2的正方形的邊長.

設計意圖通過拼圖活動以及師生的共同探究，讓學生感受無理數(shù)產生的實際背景，經歷無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，感知生活中確實存在著這樣的不同于有理數(shù)的數(shù).

2 逐步逼近，體會的大小

引導學生通過如下推理：

追問：x是1點幾呢?

由 1.52=2.25，1.42=1.96，得

繼續(xù)追問：x是1.4幾呢?

設計意圖引導學生借助計算器逐步探索“究竟有多大”，滲透用有理數(shù)近似表示無理數(shù)和用有理數(shù)逼近無理數(shù)的思想.在利用“雙面夾”方法無限逼近的過程中，培養(yǎng)學生的演繹推理能力.

3 熟悉定義，加深理解

得出無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)這一概念后，引導學生歸納總結無理數(shù)的2個基本特征：一是小數(shù)位數(shù)是無限的;二是不循環(huán)的.并通過一個游戲來加深學生對“無限不循環(huán)小數(shù)”的認識.請一位同學在講臺上擲骰子，另一位同學在小數(shù)點后面寫上骰子擲出點數(shù).隨著骰子一次一次地擲，點數(shù)一次一次地記，黑板上出現(xiàn)了一個不斷延伸的小數(shù)0.315 426 512 3….

師：如果骰子不斷地擲下去，點數(shù)不停地記下去，那么在黑板上得到的是一個什么樣的小數(shù)呢?

生6：能得到一個有無限多位的小數(shù).

師：是循環(huán)小數(shù)嗎?

生7：不是.

師：為什么?

生8：點數(shù)是擲骰子擲出來的，并沒有規(guī)律.

設計意圖無理數(shù)的概念是八年級數(shù)學教學的難點，學生理解的難點就在于“無限不循環(huán)”的意義.通過游戲活動來產生一個具體的、位數(shù)可以不斷延伸的小數(shù)，這為學生提供了一個可以真實感知的無理數(shù)模型，使得學生能夠結合生活經驗來體會無理數(shù)這一抽象概念的特征.

4 回顧歷史，拓展知識

公元前500年，古希臘畢達哥拉斯學派的一個門徒希勃索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實：一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，即一個正方形的邊長是1，其對角線的長不是一個有理數(shù).這一發(fā)現(xiàn)與畢氏學派“萬物皆數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭，希勃索斯最后竟遭到沉舟身亡的懲處.但是，這一發(fā)現(xiàn)第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”.而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”.于是，數(shù)學史上出現(xiàn)了第一次危機［3］.這對以后2 000多年數(shù)學的發(fā)展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽.

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺了真理才是“無理的”.人們?yōu)榱思o念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把“不可公度量”取名為“無理數(shù)”——這便是“無理數(shù)”的由來.

設計意圖介紹無理數(shù)的由來，在課堂中滲透數(shù)學文化，可以讓學生體會到數(shù)學發(fā)展的艱辛，認識到無理數(shù)的價值，并激發(fā)學生追求真理的精神.

數(shù)學的教學設計應該結合具體的教學內容，從學生已有的生活經驗出發(fā)，創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，讓學生在觀察、操作、猜測、論證、反思等活動中體會數(shù)學知識產生、形成和發(fā)展的過程，這樣才能逐步提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

［1］ 詹國樑.數(shù)感的內涵［J］.蘇州教育學院學報，2005，22(1)：69-71.

［2］ 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.

［3］ D.E.Smith，History of Mathematics［M］，New-York，Ginnand Company，1925.