數學應用問題解決認知研究綜述

孫 勇

（六安職業技術學院,安徽六安 237158）

數學應用問題解決認知研究綜述

孫 勇

（六安職業技術學院,安徽六安 237158）

數學應用問題解決研究是數學問題解決研究的中心課題,對近年來國內外關于數學應用問題解決的理論依據、認知過程、影響因素等認知方面研究進行了綜述。

數學應用問題;數學應用問題解決;研究綜述

數學應用問題解決是數學問題解決中的重點和難點,也是數學教學的主要內容。國內外數學教育學與心理學學者針對數學應用問題解決這一課題進行了大量研究,取得了豐富的成果。本文試圖對近年來關于數學應用問題解決認知研究作一綜述,以期為進一步研究數學應用問題解決提供參考。

1 數學應用問題解決的心理學理論依據

數學應用問題解決的心理學理論依據經歷了從桑代克的“試誤說”到格式塔心理學派的“頓悟說”再到認知心理學的過程。

自1922年美國桑代克（E.L.Thorndike）發表《算術心理學》以后,桑代克的聯結主義學習理論及問題解決的試誤說成為當時數學應用問題解決的主要理論依據,認為解答數學應用問題的實質在于通過“嘗試一錯誤”從而在應用問題的條件與問題之間形成直接聯系。

布朗（W.A.Brownell）在吸收了格式塔心理學關于問題解決的頓悟思想以后提出,解答數學應用問題的過程并不是各種算法的試誤過程,而是對選擇算法的依據的理解即頓悟過程。

隨著現代認知心理學的迅速發展,認知心理學家對問題解決進行了更深入的研究,從20世紀80年代起,大多數認知心理學家都傾向于贊成這樣的觀點,即問題解決的實質是解題者利用長時記憶中的信息或圖式（Schema）,采用一定的探索方法,對課題進行的一系列認知信息加工過程。數學應用問題解決當然也符合數學問題解決的一般規律,并且有其獨特的一面。廖運章認為[1],數學應用問題是一個完整的知識結構系統,是用一定的情節描述的數量關系數學問題。數學應用問題解決實質上是主體在數學元認知監控下,擺脫情節結構,建立并處理數量關系結構的一種數學認知活動。

2 數學應用問題解決的認知過程

關于數學應用問題解決認知過程,最具代表性的當屬美國認知派的教育心理學家邁耶（R.E.Mayer, 1987）提出的四階段理論。他認為,數學應用問題解決的兩個重要成分是問題表征階段和問題解答階段,前者包括表征問題與問題綜合,后者包括制定和調整解答計劃、執行解答計劃。國內學者張慶林[2]認為,數學應用問題解決的過程分為表征問題、解答問題、思路總結三個階段。廖運章[1]則從數學建模的角度提出數學應用問題解決是“用模（意識）-建模-解模-驗模”的過程。梁好翠[3]則認為數學應用問題解決是由情境理解與問題表征、問題歸類與模式識別、建模解模與解題遷移、驗模用模與自我評價等4個相互關聯的子系統組成的一個動態過程。

但有人認為[4],雖然用“階段”描述問題解決過程,易于把握,但卻不貼切,因為問題解決中各種心理活動并非限于一定的時間段,沒有嚴格的先后順序,因此傾向于從心理活動類型的角度分析數學問題解決心理過程的機制。

邁耶（R.E.Mayer）認為,應用問題解決的關鍵是問題表征階段,而問題表征的關鍵是識別問題類型。實際上,無論是用階段理論還是心理活動類型來研究數學應用問題解決的認知過程,“問題表征”和“模式識別”都是學者們重點研究的數學應用問題解決認知過程中的最重要的心理活動。

2.1 問題表征

心理表征指在原有認知結構的基礎上將外部信息以自己獨特的方式或形式組織起來,并建構出一定的結構和意義。于萍[5]和傅小蘭[6]等的研究都表明,正確的表征方式是解決問題的必要前提,解決應用題的關鍵是形成已知條件與目標之間問題情境的正確表征。

仲寧寧[7]、鄭琳娜[8]、辛自強[9]等對國外關于數學應用題心理表征的幾個主要理論作了較為系統的闡述:1、語言-形象表征論,Krutetskii根據信息加工方式的不同,把問題表征分為3種類型:語言型、形象型、混合型;2、表象表征論,Presmeg認為,中學生在解決數學問題時常用五類表象:具體的圖形表象、模式表象、動覺表象、動態表象、對公式的記憶;3、圖式-圖像表征論,Hegarty將視空間表征形式僅區分為兩種類型,圖像表征和圖式表征;4、直接轉換-問題模型表征論,Mayer等人認為,在數學心理表征中存在兩種基本的策略:直接轉換策略和問題模型策略;5、三水平表征論,Cifarelli認為,應用題解決活動包括再認、再組織和結構抽象化三個概念結構水平。

我國學者對數學應用問題解決中的表征理論也進行了大量的研究:辛自強[9]在前人的基礎上,提出了“表征復雜性模型”理論;鄭琳娜等[8]在 Krutetskii理論和Hegarty等人理論研究的基礎上,將小學生應用題表征的類型劃分為兩大類4種:一類是言語表征,包括關系表征、語詞表征,第二類是圖形表征,包括圖式表征、圖畫表征;董妍等[10]研究認為小學生應用題的表征方式有復述內容、圖式表征、圖片表征、直譯表征、語義結構分析等;鮑曼等[11]認為,將高中學生解決數學應用問題時的表征簡化為5個不同層次:文字表征、具體表征、抽象表征、形象表征和數學表征是適當的;張慶林等[12]研究發現,小學生表征應用題的方式有三類:復述、畫圖、找關鍵信息。

2.2 模式識別

模式識別過程是感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較和分析,判斷和決策它們的最佳匹配的過程。現代認知心理學關于數學應用問題的研究發現,學生是否識別應用問題的類型即模式識別是能否成功解決數學應用問題的關鍵。研究表明學生確實具有關于數學應用問題的若干模式,而且這些模式與求解新的問題有著直接的關系[13]。現代認知心理學提出了模板理論、原型理論、特征理論、拓撲學理論等幾種關于模式識別理論模型[14]。

3 數學應用問題解決的影響因素

影響數學應用問題解決的因素很多,既有個體內部因素,又有外部因素。其中個體內部因素既包括認知因素,又有非認知因素。個體內部因素主要有知識基礎、解題策略、認知方式、認知能力、元認知、非認知因素等方面。

3.1 知識基礎

知識基礎就是個體的先前知識及其表征。邁耶（R.E.Mayer）認為,解題時所需的知識分為五個范疇:語言知識、語意知識、圖式知識、策略性知識和程序性知識。喻平[14]從 CPFS結構理論出發、李明振[13]從數學建模的角度進行研究,均表明學生已有的知識經驗對數學應用問題解決有顯著影響。

近年來學者們對于圖式知識對數學應用問題解決的影響尤為關注。數學應用問題圖式是關于數學應用問題類型和每類應用問題的數量關系結構特點等方面的知識,依數學應用問題的事實內容分類稱為情節結構圖式,而依數量關系結構分類稱為數學模型圖式[13]。數學應用問題圖式知識有助于問題的深層次加工。研究表明[13],學生確實擁有典型數學應用問題圖式（如:常用的代數應用題四種圖式類型[15]:模版圖式、家族圖式、概念圖式、類別圖式）,其成功解答數學應用問題與掌握數學應用問題類型的適當的圖式密切相關,專家（優生）擁有比新手（差生）更有用的數學應用問題圖式。

3.2 解題策略

數學問題解決策略是區別于數學解題方法與具體技巧的、具有普適性的、最高層次的信息處理方法[13]。在數學應用問題解決過程中的每一個階段都需要相應的策略。問題解決的認知策略通常有隨機式策略、算法式策略、啟發式策略。學者們主要關注在數學應用問題解決中的啟發式策略研究。

鮑曼等[11]研究認為,根據問題的性質內容以及問題解決者的認知結構,將高中學生解決數學應用問題時解決策略劃分為4種不同類型:盲目搜索策略、情境推理策略、原理統率策略和數學模型策略是適當的。對于高中學生成功地解決數學應用問題而言,原理統率策略明顯優于情境推理策略。

路海東[16]依據意大利學者Daniela Lucangeli理論,通過對小學生解決數學應用問題的研究后認為:問題情境理解、問題表征、問題歸類、解題計劃和對列式的自我評價是小學生在解決數學應用題過程中的不同階段相繼采取的一系列認知策略,它們共同構成了小學生解決數學應用題的整體策略。

陳英和等[17]闡述了數學應用題解決的兩種不同表征策略:直接轉換策略、問題模型策略,并分析了其對數學應用問題解決的不同影響。路海東[16]通過對小學生對和差應用題的研究發現:不成功的解題者在表征和差應用題時傾向于運用直譯策略,而成功組的解題者更傾向于運用問題模型策略,這導致了成功者與不成功者在列式上的差異,特別是在不一致題型上表現得更明顯。

3.3 認知方式

所謂認知方式指個體偏愛的加工信息的方式,表現在個體對外界信息的感知、注意、思維、記憶和解決問題的方式上（皮連生,《教育心理學》,2004）。認知風格類型可以歸結為兩個基本的維度:整體-分析（Wholist-Analytic）維度（如場獨立性與場依存性）和言語-表象（Verbal-Imagery）維度。

贠麗萍、游旭群[18]通過對小學生解數學應用問題研究發現,場認知方式與數學問題解決關系密切,學生場獨立性越強,數學解題水平越高。不同場認知方式被試受不同問題呈現方式的影響也有所不同,在有視覺提示的呈現方式下,場依存型被試數學應用題解題水平提高程度較場獨立型被試大,其中低空間能力-場依存型被試在圖形提示的呈現方式下解題水平提高程度最大。鮑曼等[11]研究也表明,在解基本數學應用題時場獨立性學生和場依存性學生差異不顯著;在解難度較大的創變數學應用問題時場獨立性學生占明顯優勢。

澳大利亞學者Lowrie和 Kay[19]通過對采用視覺化和非視覺化表征方式解決應用題的小學生進行研究發現,任務難度對于小學生采用何種方式表征應用題有重要的影響:對于難題和新穎的問題通常傾向于采用視覺化的表征方式,而對于較易的數學應用題則傾向于采用非視覺化的方式來表征。游旭群等研究表明[20],圖形表征方式和圖式表征方式下小學生的解題水平均高于文字表征方式下小學生的解題水平,這表明視覺提示有助于小學生應用題解題水平的提高。并且問題表征方式對不同年級被試解題水平具有不同的影響,隨著年級的升高,圖式表征對小學生問題解決的促進作用增強。

3.4 元認知

所謂元認知,就是對認知的認知,是“反映或調節認知的任一方面的知識或者認知活動”。元認知對數學應用問題解決的影響是全過程的,在數學認知活動中,尤其是解決數學應用題的活動中,需要各種認知因素的參與,而在這個過程中,需要主體不斷地對認知活動進行監控、管理、選取策略以及調整思路等,這些調控都離不開元認知的參與[7]。楊光偉[21]根據前人的研究成果,對于數學應用問題解題活動前、解題活動中、解題活動后元認知的影響作用作了深入的探討。游旭群[20]、李明振[13]通過大學生自我監控能力對其數學建模成績的影響研究發現,自我監控能力直接影響數學建模成績。

3.5 認知能力

認知能力是指人腦加工、儲存和提取信息的能力,個體的認知能力是影響數學應用問題解決重要因素。近年來學者們關注的有視空間能力、工作記憶等因素。

視空間能力是人類智能結構中的重要組成部分,高空間能力學生的數學解題水平遠遠高于低空間能力學生。贠麗萍、游旭群等通過對小學生解數學應用問題研究發現[18],視空間能力是影響數學應用題解決的重要因素之一,空間能力越高,數學解題水平也越高,不同問題呈現方式是影響小學生數學應用題解題水平的重要因素之一。

工作記憶是容量有限的加工資源,其在儲存信息的同時,還要對該信息或其它信息進行即時加工（這和短時記憶概念僅強調儲存功能是不同的）[7]。在應用題情境表征中,非常重要的推論過程是在中央執行的監控和調節下,在語音環路和視空間模板的參與下進行的,所以工作記憶容量越大,個體就越多使用情境信息來進行因果推理[19]。

3.6 非認知因素

研究表明,學生的數學信念、動機、態度等多種非認知因素既可以增強數學應用問題解決的能力,也可以削弱數學應用問題解決的能力[20]。

4 問題與展望

數學應用問題解決的研究著述浩繁,成果豐碩。但筆者認為,還可以在以下幾個方面作進一步的深化研究。

從生態學的角度看,數學問題解決活動是學生不斷與外界環境進行能量、信息交換的動態和開放系統[22]。因此關于數學應用問題解決的內在認知機制與外界環境的關系方面可以再進行深入的研究。

國外學者關于數學應用問題解決能力訓練的實驗研究很多,國內學者也進行了卓有成效的研究:姚飛、張大均[23]的應用題結構分析訓練;路海東[16]的問題情境理解訓練、畫圖表征策略訓練以及整體模型策略訓練等。但是真正非常有效的操作性很強的訓練實驗,特別是大范圍的實驗研究還需要學者們作出進一步共同努力。

關于數學應用問題解決研究對象一般都集中在中小學的層次,特別是集中在小學的層次。在大學層次,特別是在應用性特點非常顯著的應用性本科和高職專科層次的數學應用問題解決的研究偏少,這方面應該加強。

[1]廖運章.數學應用問題解決認知心理的實證研究[D].桂林:廣西師范大學（碩士學位論文）,2000.

[2]張慶林.當代認知心理學在教學中的應用[M].重慶:西南師范大學出版社,1995.

[3]梁好翠.論數學應用問題解決的認知過程模式[J].欽州學院學報,2008,23（6）:107-111.

[4]苗天志,苗天慧.數學問題解決的心理分析[J].上饒師范學院學報,2006,26（3）:84-87.

[5]于萍,左夢蘭.三—六年級小學生數學能力及認知結構的發展[J].心理發展與教育,1996,12（1）:29-32.

[6]傅小蘭,何海東.問題表征過程的一項研究[J].心理學報, 1995,27（2）:205-209.

[7]仲寧寧,陳英和,張璟.數學應用題心理表征的研究現狀與動態[J].心理學探新,2008,28（1）:39-43.

[8]鄭琳娜,張奇.小學生應用題表征類型及其對問題解決的影響[J].遼寧師范大學學報（社會科學版）,2007,30（3）: 45-49.

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[12]張慶林,管鵬.小學生表征應用題的元認知分析[J].心理發展與教育,1997,13（3）:11-14.

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[18]贠麗萍,游旭群.小學生數學應用題解題水平影響因素的實驗研究[J].心理學探新,2006,26（4）:63-67.

[19]Tom Lowrie,Russell Kay.Relationship between Visual and Non-visual Solution Methods and Difficulty in Elementary Mathematics[J].Educational Psychology,2001,94 （4）:248-255.

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[21]楊光偉.學生在數學應用問題解決上的元認知行為表現和信念[D].上海:華東師范大學（博士學位論文）,2006.

[22]吳海燕.生態觀下數學課堂教學中幾個問題的探討[J].重慶師范學院學報（自然科學版）,2003,20（3）:87-89,94.

[23]姚飛,張大均.應用題結構分析訓練對提高小學生解題能力的實驗研究[J].心理學報,1999,31（l）:53-58.

The Summary of Mathematics Application Question Solution Cognition Research

SUN Yong

（L u’an Vocational and Technical College,L u’an237158,China）

The research for mathematical application problem solving is the central issue of mathematical problem study.In this paper,the author makes an overview of the recent cognitive studies on the theoretical basis,cognitive process and influential factors involved in mathematical application problem solving in China and abroad.

Mathematical application problem;Mathematical application problem solving;summary of research

O29

A

1009-9735（2010）02-0007-04

2010-03-02

安徽省高等學校省級教學研究項目“高職院校學生數學應用能力發展水平與表現特征研究”（2008jyxm659）。

孫勇（1963-）,男,安徽六安人,副教授,碩士,研究方向:數學課程與教學論。