轉子型式對高速透平膨脹機臨界轉速的影響

趙祥雄 陳雙濤 侯 予

1 引言

氣體軸承低溫透平膨脹機是空分系統和低溫系統的關鍵產冷機械，而且隨著基于高速透平逆布雷頓循環的空氣制冷技術在航空工業、高速鐵路與環境模擬系統中的應用，對高速透平膨脹機的性能和穩定性提出了更高的要求。為了保證膨脹過程具有較高的絕熱效率和可靠性，透平膨脹機轉子要求具有較高的穩定轉速，并最大限度的減小轉子系統的振動幅度。如美國目前已經研制出轉速高達60萬轉/分鐘的透平膨脹機［1］，中國低溫領域工業產品的氣體軸承透平膨脹機轉速一般也在4萬轉/分鐘以上。工作在高轉速下的透平膨脹機其轉子結構必須有合理的振動特性才能實現平穩運轉，首先要考慮的就是設計轉動頻率不能與轉子本身橫向振動的固有頻率及其倍數相等或相近。因此進行轉子的臨界轉速特性分析，選取合適的軸承-轉子系統型式是高速透平膨脹機結構設計的首要環節。

高速透平膨脹機轉子臨界轉速的計算是轉子振動特性分析的核心問題，國內外學者對其都給予了充分的關注。然而，其計算精度、準確性和可行性還有待提高。傳統的Prohl遞推法和Riccati傳遞矩陣法在進行轉子臨界轉速計算和振型分析時往往對剛度進行了簡化并且忽略了阻尼影響。而文獻［2-5］的研究表明支承剛度和阻尼是衡量小型透平膨脹機的氣體軸承高速穩定性的重要參數。因此在對微型透平膨脹機轉子進行臨界轉速計算時進行剛度簡化和忽略阻尼勢必在很大程度上影響計算結果的合理性和精確性。雖然Prohl遞推法和Riccati傳遞矩陣法也有針對各項異性支承且計入阻尼影響的軸承轉子系統振動特性進行分析的方法，但是其求解過程十分復雜，不利于程序實現。Nelson，McVaugh等人［6-8］提出的轉子系統振動特性的有限元解法在求解具有各項異性支承并且阻尼不可忽略的軸承轉子系統時的核心是求解具有形如A x=λB x的廣義復特征值問題。其中矩陣A、B均為大型非對稱矩陣。而Ward和Moler等人［9-10］提出的求解非對稱廣義復特征值問題的QZ法是針對此問題一種簡便且高效的解法。因此，本文基于有限元劃分的QZ法(FEQZ)，求解了具有各項異性支承并且阻尼不可忽略的高速透平膨脹機轉子臨界轉速，經與工程應用結論對比，表明該方法準確度較高，計算簡便且行之有效。

2 算法分析

次式為:

其中:λ的虛部就是轉子振動的固有頻率。對所得數據進行擬合后聯立w=Ω進行求解。

對于轉速Ω，其對應的第m階復特征值λm=sm+jwm，其中s為阻尼系數，w為固有頻率，復特征向量

推出的直接用式所求特征向量表示的表達式經簡化后可得:

正進動反進動判據:

由此，可以直接用特征向量相關元素來進行正反進動的判別。

用所求特征向量元素表示的某段軸心軌跡方程為:

其中長短半軸分別為:

從式(10)可以明顯可以看出，衰減指數s＞0時，隨著時間的推移，轉子最終會出現失穩，s＜0時轉子最終趨于穩定，這點十分符合轉子動力學中對衰減指數相關性質的描述。對于具有各項異性支承并且考慮阻尼影響的透平膨脹機轉子來說，大多數情況下衰減指數s≠0，透平轉子渦動的幅值從式(9)可看出是隨時間t衰減或者增強的，各個部分的中心軌跡是一系列螺旋線，此時轉子的運動十分復雜。根據文獻［12］，通常情況下在描述此類節點的運動時令各節點處于穩態，即令式(8)式(9)中的衰減指數s=0所得運動方程作為節點穩態運動方程。

即:

式(13)也能用來做轉子正反進動的判別，當b＞0，轉子做正進動，b＜0轉子做反進動。此外，需要特別提到的一點是，對于支承異性比較嚴重的轉子，會產生混合進動，即一部分節點作正進動，一部分節點作反進動。

3 轉子分析實例

為驗證算法的正確性，選取在工業上已獲得廣泛應用的150 m3(O2)/h制氧機用中壓低溫透平膨脹機 (PLK-8.33 ×2/20-5)為例［13］，其設計參數如表1所示。該低溫膨脹機原采用小孔節流切向供氣靜壓氣體徑向軸承和一體化環形小孔供氣靜壓止推軸承，膨脹機工作輪為反動式葉輪，采用風機制動，雙止推盤對置。圖1是可供選擇的4種轉子結構，選定4種結構轉子軸的長度相等，采用相同的膨脹機葉輪和制動風機葉輪，采用相同支承條件的氣體軸承。計算可知工作輪質量為7.89×10-3kg，極慣性矩5.91×10-7kg·m2，軸慣性矩3.82 ×10-7kg·m2，風機輪質量為2.36 ×10-2kg，極慣性矩4.25 ×10-6kg·m2，軸慣性矩 2.11 ×10-6kg·m2。

表1 透平膨脹機主要設計參數Table 1 Main design parameters of turbo-expander

圖1 常用轉子型式Fig.1 Four typical rotor structures

3.1 臨界轉速

表2列出了在各項異性支承下忽略和計入阻尼情況下4種轉子前兩階的正進動(F)和反進動(B)臨界轉速計算值。可以看出，正進動阻尼臨界轉速低于不考慮阻尼的臨界轉速，阻尼對一階臨界轉速的影響大于其對二階臨界轉速的影響。反進動的阻尼臨界轉速高于不考慮阻尼的臨界轉速，與正進動類似，阻尼對一階臨界轉速的影響較大。實際的膨脹機轉子均做正向渦動，對于要求的額定轉速，轉子1、3、4都符合1.4 wcrn＜ Ω ＜ 0.7 wcrn+1的要求，其中轉子4 安全范圍最小，轉子1轉速的安全范圍最大。圖2是各階臨界轉速的Campbell圖。由于氣膜軸承的各項異性轉子的第一階阻尼臨界轉速分離為兩個臨界轉速，這與文獻［14］描述的油膜軸承各項異性支承的情況類似。

表2 各轉子型式臨界轉速比較Table 2 Comparative on critical speed of four different rotor structures

3.2 振型對比

應用于低溫系統的透平膨脹機由于其工作溫度較低，尤其是啟動過程中的溫區跨度和轉速變化范圍較大。對于設計好的氣體軸承支承的透平膨脹機，在未達到額定工作狀態前，其剛度和阻尼也會發生變化，特別是動壓氣體軸承支承的轉子，其剛度和阻尼在啟動過程中會發生較大變化，這時，如果轉子本身對剛度和阻尼的變化比較敏感，則轉子的阻尼臨界轉速和振幅會發生較大變化，反之，轉子能夠較為平穩的達到指定工作狀態。其次還應該考慮兩邊支承對支承剛度和阻尼敏感度的一致性。

文獻［14］指出軸承轉子系統某階復振型在軸承處的幅值越小，則該軸承的剛度、阻尼對該階特征值的影響越小。圖3為4種轉子的額定轉速下的前兩階復振型曲線。可以看出對于額定轉速下的一階復振型，轉子2和轉子4的幅值分別在轉子左右半邊達到最大，轉子1和3幅值相差不大，其中轉子1幅值最小。從額定轉速下的二階復振型可以明顯的看出在轉子2支承處的幅值最大，其余轉子在支承點的幅值相差較小。針對前兩階復振型，從左右支承的一致性和對剛度和阻尼的敏感度來衡量，轉子1和轉子3優于轉子2和轉子4。從圖3還可以看出，除了在起始軸段和結尾軸段x方向和y方向的復振幅|X||Y|可以看出有差別外，其余部分幾乎重合，這表明轉子的振動軌跡在某個平面是接近于圓形的橢圓，這是由于在以上計算中沒有考慮轉子質心和幾何中心的不重合度和支承氣膜在x和y方向具有相近的支承剛度所造成的。此外需要注意的是，由于假設s=0，此處的復振幅并不能代表轉子實際的振動幅度，它只是轉子軸心軌跡的一個形象描述。

3.3 穩定性分析

用來衡量轉子穩定性的無量綱對數衰減率定義為δ=2πσ/w，δ越大表明系統在受擾動后振動衰減的越快，系統的穩定性越好。圖4顯示了轉子1-4前兩階正向渦動固有頻率的對數衰減率。從圖中可以看出，轉子3具有最高的一階對數衰減率，轉子2具有最高的二階對數衰減率。轉子3的二階對數衰減率大于轉子1的一階對數衰減率。

經過上述分析可知，轉子2雖然有較高的二階對數衰減率，但是其轉速安全范圍不符合要求，復振動型曲線幅值也較大。轉子3有優于轉子4的對支承剛度和阻尼的不敏感度和優于轉子1的穩定性。綜合考慮以上因素，轉子3為最佳轉子結構。事實上，轉子3也是原設計［13］采用的轉子形式。

圖4 前兩階固有頻率對數衰減率Fig.4 The First and second natural frequency logarithm scale attenuation rate

4 結論

通過比較分析，提出基于有限元劃分的QZ法是一種簡便有效的求解具有各項異性氣體軸承支承小型透平膨脹機轉子阻尼臨界轉速簡便有效的計算方法，利用QZ法求得的廣義復特征向量矩陣，推導出各項異性支承下透平膨脹機轉子軸心軌跡的瞬態和穩態表達式，給出了透平轉子正反進動阻尼臨界轉速的兩種判據。利用上述方法，對適用于同一透平的四種不同形式轉子的阻尼臨界轉速、復振型、穩定性進行了對比研究，表明采用該算法進行臨界轉速的計算是十分準確的。并驗證了雙止推盤對置轉子結構具有較好的安全轉速范圍，并且具有優于單止推盤中置轉子結構的穩定性和單止推盤偏置轉子對支承剛度和阻尼的不敏感度。

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