緊凸超曲面在一類帶外力場的平均曲率流下的收縮

劉艷楠

(北京工商大學 計算機與信息工程學院, 北京 100048)

1 帶外力場的平均曲率流

在這篇文章中我們主要研究

(1)

這里

Ft:=F(·,t):M→Rn+1,

這個流推廣了著名的平均曲率流(也就是ω≡const的情形)，它來自于對非均勻Ginzburg-Landau超導方程漩渦運動的研究，詳見文獻[2-3]， 我們稱之為帶外力場的平均曲率流. 關于這類流我們做了一系列的研究，并給出了光滑解長時間存在近乎最優的條件，詳見文獻[1]和文獻[3-6].

在文獻[1]中作者證明了下面結論：

本文對上面定理結論做了更細致的研究，證明當初始曲面是嚴格凸時，曲面在有限時間內收縮為一點，即下面定理：

定理2令

(2)

如果c<0是一個常數，且若M0是嚴格凸的，則當t→T時，曲面收縮為一點.

我們主要利用Huisken在文獻[7]中的方法對定理 2 進行證明. 在第二節我們做些必要的準備工作，并將在第三節給出定理2的證明.

本節最后我們想指出，平移解作為平均曲率流的特解對平均曲率流的研究有著重要的研究意義，詳見文獻[8-9]. 而關于帶外力場的四階曲線流的研究見文獻[10].

2 準備工作

本節我們給出一些曲率量的發展方程，為定理2的證明準備.

命題1 在流(2)光滑解存在時間內，平均曲率H、第二基本形式平方|A|2和體積元dμt的發展方程為：

(3)

(4)

(5)

注：這個定理說明流(2)在解的存在時間內，總有H>0成立.

證明： 令

Mij=hij-εHgij,

則有

記

Nij=-2hilhljf+(|A|2-c)Mij+2εHfhij.

對Mij的零特征向量X，即MijXiXj=0，有

hijXiXj=εH|X|2,hijXi=εHXj.

利用這些關系我們可以得到

MijXiXj=0.

因此由Hamilton張量極值原理[11]，我們證明了hij≥εHgij是保持的，用同樣的方法我們也可以證明hij≤βHgij是保持的.

證明： 由(3)和(4)可以得到

而

注意到

那么由這幾個式子可以得到我們想要的結果.

下面我們需要……