具偏差變元泛函微分方程周期解的存在定理

陳新一

(西北民族大學 中國民族信息技術研究院， 甘肅 蘭州 730030)

1 問題的提出

x″(t)+h(x(t))f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)

(1)

2 主要結果

定理1 如果存在常數r1≥0,r2≥0,a>0,H>0,K>0和D>0,使得

[A2] 0

則當4π[Hr1+(2π+1)r2]<1時,方程(1)至少存在一個2π周期解.

證明 考察下列方程

x″(t)+λh(x(t))f(x′(t))+λg(x(t-
τ(t)))=λp(t),λ∈(0,1).

(2)

再由積分中值定理知,存在ξ∈[0,2π],使得

h(x(ξ))f(x′(ξ))+g(x(ξ-τ(ξ)))=0.

(3)

下面證明存在t*∈[0,2π],使得

(4)

|x(ξ-τ(ξ))|≤D.

(5)

(6)

由(5)和(6)式易見,無論是r1=0還是r1>0,均有

(7)

由于ξ-τ(ξ)∈R,因而一定存在整數k和t*∈[0,2π],使得ξ-τ(ξ)=2kπ+t*,故由(7)式得

于是(4)式成立. 由此得

(8)

令F(z)=4π[Hr1+(2π+1)(r2+z)],z∈[0,+∞). 由題設條件4π[Hr1+(2π+1)r2]<1知F(0)<1. 又F(z)在[0,+∞)上連續,因而存在常數δ0>0,使得

F(z)=4π[Hr1+(2π+1)(r2+z)]<1,z∈(0,δ0].

(9)

4π[Hr1+(2π+1)(r2+ε)]<1.

(10)

對上述ε>0,由題設[A4]知,一定存在與λ和x無關的常數ρ>D,使得

(11)

設E1={t:t∈[0,2π],x(t-τ(t))>ρ},E2={t:t∈[0,2π],x(t-τ(t))<-ρ},E3={t:t∈[0,2π],|x(t-τ(t))|≤ρ}. 由(3)式,得到

即

由于

故由上式得

(12)

由E3,E2的定義和(11)式知

(13)

和

(14)

顯然KerL=R. 定義投影算子P和Q分別為

方程(2)即為算子方程Lx=λNx. 根據對(2)周期解界的估計及已知條件,可知對?x∈domL∩?Ω和λ∈(0,1)有Lx≠λNx,對任意x∈KerL∩?Ω,則x=M(>D)或者x=-M,因此有

(15)

作變換H(x,s)=sx+(1-s)g(x),0≤s≤1. 因為對任意x∈?Ω∩KerL及s∈[0,1],我們有xH(x,s)=sx2+(1-s)g(x)x>0,可知H(x,s)是同倫變換,因此

deg{QNx,Ω∩KerL,0}=deg{-g(x),Ω∩KerL,0}=
deg{-x,Ω∩KerL,0}=deg{-x,Ω∩R,0}≠0.

根據重合度理論可知,方程(1)至少存在一個2π周期解.

注 當h(x(t))≡1時,本文的定理1即是文獻[9]中的定理1. 因此本文的定理1推廣了文獻[9]的結果.

推論1 假設存在常數r1≥0,r2>0,a>0,H>0,K>0和D1>0,使得

[B3]xg(x)>0, 當|x|>D1時;

則當4π[Hr1+(2π+1)r2]<1時,方程(1)至少存在一個2π周期解.

證明 與定理1的條件比較可知,我們只須證明存在常數D>0,使得

(16)

由此存在常數D2>D1,使得

(17)

由此存在常數D3>D1,使得

即

(18)

取D=max{D2,D3},則由(17)和(18)式得(16)式成立.

根據定理1,類似推論1的證明,立即可得如下推論.

推論2 假設存在常數r1≥0,r2>0,a>0,H>0,K>0和D1>0,使得

[C3]xg(x)>0, 當|x|>D1時;

則當4π[Hr1+(2π+1)r2]<1時,方程(1)至少存在一個2π周期解.

類似定理1的證明,可得如下定理.

定理2 如果存在常數r1≥0,r2≥0,a>0,H>0,K>0和D>0,使得

[A2]′ 0

則當4π[Hr1+(2π+1)r2]<1時,方程(1)至少存在一個2π周期解.

由此定理,我們還可得到類似推論1和推論2的結論,這里不再贅述.

例：考慮下列方程

(19)

其中

p(t)=cost. 因而,我們可選取

使得條件

[B3]xg(x)>0, 當|x|>D1時;