函數“四性問題”備考與探究

● (杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

引子先從一個高考題談起

已知函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則

( )

A．f(x)是偶函數 B．f(x)是奇函數

C．f(x)=f(x+2) D．f(x+3)是奇函數

(2009年全國數學高考試題)

這是一道常規題，涉及函數的奇偶性、對稱性、周期性，若了解一些最基本的函數“四性”的結論，則此題不難獲解.但教學反饋表明，學生普遍不得要領.大多數學生從條件僅能推得y=f(x)的圖像既關于點(-1,0)對稱，又關于點(1,0)對稱，再往下便一籌莫展.鑒于函數在高考中的重要地位，以及函數“四性”考題得分普遍欠佳的實際情況，筆者尋思有必要在備考中提高函數性質復習的深度，增強對函數“四性”相互聯系的認識.本文就函數“四性”的備考與探究略作剖析，以期拋磚引玉.

1 考查要求與命題走勢分析

對函數“四性”，考綱要求多在理解這一層面:理解函數的奇偶性、單調性.對于周期性，則更著重于理解三角函數的周期問題；對于對稱性，除掌握奇偶函數圖像的對稱性外，對一般的軸對稱、中心對稱問題也都有所涉及，尤其對于f(a+x)=f(a-x)等對稱問題，屢屢考查.從高考走勢看，函數“四性”重點考查單調性，近幾年尤其是利用導數研究單調問題似成考查趨勢，并且多為解答題.而對于函數“四性”的交叉聯系這幾年更多見于客觀小題，并且題目靈活、富有內涵.

2 函數的奇偶性、周期性、單調性、對稱性探究

對于函數“四性”問題，通常可從相應的定義入手，解題關鍵是要熟悉和掌握一些基本性質，并靈活處理“四性”的相互關系與綜合應用.

2.1 抓住3條主線，理清奇偶性試題高考脈絡

奇偶性是函數中最基礎的性質，分析近幾年的高考試題發現，通常奇偶函數的定義、性質、與單調性結合問題是高考奇偶性問題的主考方面.

2.1.1 抓住奇偶定義

定義應用基本可以分2個層面:一是直接用定義，再結合f(-x)+f(x)=0及f(x)-f(-x)=0這一變式；二是構造函數，利用奇偶性解決求值、求參數范圍等問題.

值得注意的是，很多時候當f(x)在x=0有定義時，由f(0)=0求參數的值，往往顯得簡捷.

2.1.2 抓住奇偶性質

對奇偶函數的性質，直觀的有:奇函數圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱.除此以外，若能利用一些延伸性質，如：f(x)為偶函數且f(x)在(0,+∞)上為增函數，則f(x)在(-∞,0)上為單調減函數；奇+奇=奇，偶+偶=偶；若f(x)為奇函數，在(0,+∞)上有最大值M，則f(x)在(-∞,0)上有最小值-M；等等.若能靈活應用，則解題時往往事半功倍.

M=1+p，m=1-p，

故

M+m=2.

注奇偶函數的性質應用是靈活的.很多時候需要對所給函數進行變形，才能發現其中的奧妙.

2.1.3 抓住奇偶性與單調性的關系

歷年的高考題多將奇偶性與單調性綜合在一起考查，此時若能靈活應用奇偶性的若干結論與性質，會大大地簡化解題.

例3已知定義在[-2,2]上的偶函數f(x)，當x≥0時，f(x)單調遞減，若f(1-m)

分析一般而言，需對1-m與m所在區間進行討論，相當繁瑣.若考慮到

f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|)，

則

解得

注這類考題利用奇偶性實現轉化，避免了分類討論，在高考中多有應用.此外，應注意定義域[-2,2]的限制，這是許多考生的失分點，應給予關注.

2.2 理解周期實質，掌握基本方法

函數的周期性問題具有一定的靈活性，要求熟悉定義，善于配湊變換，同時還需適度了解幾個重要的周期模型.在高考中，周期問題的重點還是三角函數周期的判定與運用.

2.2.1 緊扣定義，“湊”出周期

若f(x+T)=f(x)(常數T≠0)對定義域中任一x均成立，則f(x)為周期函數，周期為T.特別地，當x∈R，k∈Z時，kT也為f(x)的周期.一般地，利用周期定義解題，多數時候需靈活配湊與替換.

例4已知定義在R上的函數f(x)，滿足f(x)[f(x+2)+1]=f(x+2)-1，求證：f(x)是周期函數.

分析題目中周期T不明，可以變形探究.

將原式變形得

將x換成x+2，得

再將x替換成x+4，則

于是

f(x+8)=f(x)，

故T=8.得證.

注此題由題設啟發先將x替換成x+2，再將x替換成x+4，善于從結構中尋求替換是周期問題的力招.

2.2.2 緊扣三角，把握重點

周期問題的主角還是三角函數，尤其是轉化為求y=Asin(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的周期，其中降次擴角、合一變換是最主要的變換手段.

例5求下列函數的周期：

(1)f(x)=|sinx+cosx|；

(2)因為

所以周期為π.

2.2.3 緊扣模式，定中求變

掌握一些基本的周期結論是非常必要的，譬如若函數f(x)滿足：

f(x+a)=f(x+b)(a≠b)；

f(x)=-f(x+a)(a≠0)；

f(a-x)=f(a+x)且f(b-x)=f(b+x)，

則f(x)是周期函數，且周期分別是|a-b|,2|a|,2|a|,2|a-b|.再如f(x)的圖像若關于點(a,0)、點(b,0)成中心對稱，則周期為2|b-a|，等等.只有掌握基本模型，才能了解定式，從而定中求變.

例6設f(x)在區間(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x),且在閉區間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0，試求方程f(x)=0在[-2 005,2 005]上根的個數，并證明你的結論.

分析由題意知，f(x)滿足周期函數的模式，其周期為10，這給題解提供了方向.

解f(10+x)=f[2+(8+x)]=

f[2-(8+x)]=f(-6-x)=

f[7-(13+x)]=

f[7+(13+x)]=f(20+x)，

所以f(x)的周期為10.由f(x)的圖像關于直線x=7對稱可知，f(x)=0在(0,10)上有2個根，因此f(x)在(0,2 005]上有201×2=402個根；在[-2 005,0]上有200×2=400個根，故f(x)=0在[-2 005,2 005]上共有802個根.

2.3 靈活處理單調，突破考查重點

就函數性質在高考中地位的重要性而言，莫過于函數的單調性.由于函數的單調性可與導數、不等式、數列、三角、參數范圍等內容廣泛結合，因此常作為高考中檔題和高檔題著力考查的熱點與重點.從單調性解題的基本方法而言，利用定義、復合函數的單調性、圖形與導數是當前高考的幾個主要方面.

2.3.1 定義是根本

例7已知函數f(x)=ax-bx(a>b>0)，若f(x)在[2,4]上的最大值為32，最小值為2，試求a和b的值.

解當a>b>1時，

任取x1,x2∈[2,4]，且x11,所以

0

(1)

(2)

由式(1)，式(2)得

因此y=ax-bx在[2,4]上為增函數.由題意知

即

解得

當a>1>b>0時，y=ax-bx也為增函數，但此時無解.

當1>a>b>0時，因為2≤x≤4，所以

ax-bx

即f(x)<0,從而f(x)的最小值不可能為2.

注從單調性定義出發，進行證明、判斷、求范圍都是高考中最基本的方法，要予以重視.

2.3.2 復合是關鍵

先看一道經典題：

例8已知y=loga(2-ax)是[0,1]上的減函數，求實數a的取值范圍.

2.3.3 圖像是輔助

圖1

下面的例9可以充分說明圖像在單調性中的輔助作用.

例9已知f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞]上單調遞增，求a,b的取值范圍.

分析掌握函數的圖形，尤其是一些基本圖形是必要的，題中的b決定轉折點，a決定傾斜方向，欲合題意，只能具備如圖1的條件：如此易得a>0,b≤0.

2.4 把握點軸對稱，拓展對稱內涵

高考對稱性考查多注重點對稱、軸對稱考查，奇函數圖像關于原點成中心對稱，偶函數圖像關于y軸成軸對稱是最常見的對稱結論，但這是不夠的，還須對一般的點對稱、軸對稱、泛對稱有所了解，并且熟悉一些常見的對稱結論是十分必要的.

2.4.1 點對稱

若函數y=f(x)的圖像關于點M(a,b)成中心對稱，則f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b，反之亦然.利用解析幾何方法極易說明.一般地，高考中更多時候會考查關于點(m,0)的對稱問題，此時有f(x)+f(2m-x)=0.

例10若f(x)對一切實數x都有f(x+8)=-f(-2-x)，且當x≥3時，f(x)=x2-7x+4，求f(x)的解析式.

解因為f(x)滿足

f(x+8)+f(-2-x)=0，

所以f(x)的圖像關于點(3，0)成中心對稱.當x<3時，-x+6≥3，從而

f(x)=-f(6-x)=

-[(6-x)2-7(6-x)+4]=

-x2+5x+2,

故

2.4.2 軸對稱

分析由題意可知,f(x)圖像關于直線x=1對稱,于是

f(3)=f(-1)=4.

2.4.3 泛對稱

高考對稱性問題除了函數圖像關于點、軸自對稱以外，很多時候還有函數圖像的互對稱、“鏡像”對稱、“首尾”對稱、對偶對稱等，為方便起見我們稱為泛對稱.

(2002年全國數學高考試題)

2.5 熟悉四性交叉，強化綜合能力

函數的奇偶性、周期性、單調性、對稱性并不是孤立存在的，它們之間是互相聯系的.在近幾年數學高考中,很多時候函數的性質都是綜合出現在同一道題目中，這就要求學生熟悉它們的相互關系，提高綜合解題能力.

例13定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在[0，2]上單調遞增.若方程f(x)=m(m>0)在[-8,8]上有4個互不相同的根x1,x2,x3,x4，則x1+x2+x3+x4=________.

(2009年山東省數學高考試題)

分析由奇函數性質且f(x-4)=-f(x),可得

f(x-4)=f(-x)，

則其對稱軸為直線x=-2.又由

f[(x-4)-4]=-f(x-4)=f(x)，

可知周期為8.而f(x)在[0,2]上單調遞增，據此可構造符合題意的圖形,如圖2.

圖2

若方程f(x)=m(m>0)在[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4，不妨令x1

x1+x2=-12，x3+x4=4，

所以

x1+x2+x3+x4=-8.

注本題將函數四性、函數圖像高度融合，題中結合了函數與方程、數形結合等數學思想.

精題集粹

1.函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，當x<0時，y=f(x)是增函數，若x1<0,x2>0，且|x1|<|x2|，則

( )

A.f(x1)-f(x2)>0 B.f(x1)-f(x2)<0

C.f(x1)+f(x2)>0 D.f(x1)+f(x2)<0

2.已知直線x=1是函數y=f(2x)圖像的一條對稱軸，那么f(3-2x)的圖像關于

( )

3.已知以T=4為周期的函數

其中m>0,若方程3f(x)=x恰有5個實數解，則m的取值范圍是

( )

4.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則

( )

A．f(-25)

B．f(80)

C．f(11)

D．f(-25)

5.已知定義在R上的偶函數f(x)，其圖像關于直線x=2對稱.當x∈(-2,2)時，f(x)=1+x2，則當x∈(-6,-2)時，f(x)=________.

7.f(x)=|x2-ax-a|在[0,1]上單調遞增，則實數a的取值范圍是________.

參考答案

1.A 2.A 3.B 4.D

5.(x+4)2+1 6.9

7.(-∞,0)∪[2,+∞)

解得

于是

故

(2)由條件得f(x)=f(2-x).因為

f(-x)=f(x)=f(2-x)，

所以

f(x+2)=f(x)，

于是周期T=2.