三角函數的圖像與性質

● (西湖高級中學 浙江杭州 310002)

1 高考展望

1．1 考點回顧

綜觀近幾年浙江省數學高考文科卷與理科卷，三角函數都是重要的考查內容，大多數試卷出現1道選擇題、1道填空題、1道解答題或者是1個小題、1個大題，分值為20分左右．其難度較小，但也有少部分題目較難，譬如2009年浙江省數學高考理科試題第8題就有一定的難度．在解答題中，這類試題一般比較容易，只要考生基礎比較扎實，得分率一般也就比較高，2009年浙江省數學高考理科試題第18題全省的平均得分率為79%，文科第18題全省的平均得分率為52．2%．筆者統計了近幾年高考三角函數的考查情況,如表1所示.

表1 近幾年高考三角函數考查情況

1．2 命題趨勢

縱觀近幾年高考自主命題，降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數圖像與性質的考查.函數的性質是研究函數的一個重要內容，是學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決生產實際問題的工具，因此三角函數的性質是本章復習的重點．在復習時,要充分運用數形結合的思想，把圖像與性質結合起來，即利用圖像的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質，同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖像，這樣既有利于掌握函數的圖像與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法．筆者預計2010年高考三角函數題型將繼續保持穩定，題型為1道選擇題(求值或圖像變換)、1道解答題(求值或圖像變換)；熱點問題是三角函數的圖像和性質，特別是y=Asin(ωx+φ)的圖像及其變換．

2 典例剖析

題型1三角函數的圖像

例1已知a是實數，則函數f(x)=1+asinax的圖像不可能是

( )

A. B.

C. D.

(2009年浙江省數學高考理科試題)

圖1

( )

(2009年遼寧省數學高考理科試題)

故選B．

題型2三角函數圖像的變換

( )．

A．y=cos2xB．y=2cos2x

(2009年山東省數學高考理科試題)

的圖像,再向上平移1個單位，所得圖像的函數解析式為

y=1+cos2x=2cos2x.

故選B．

點評這類問題主要考查圖像的平移問題，這是高考的重點內容.許多省份的高考試題都考查了平移問題，譬如天津市數學高考文科試題第7題、湖北省數學高考理科試題第4題、湖北省數學高考文科試題第7題、天津市數學高考理科試題第7題等，同時還兼顧考查利用誘導公式及二倍角公式化簡解析式的基本知識和基本技能．

題型3三角函數圖像的應用

圖2

例5已知電流I與時間t的關系式為I=Asin(ωt+φ)．

分析本題主要考查三角函數的圖像與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力．

從而

ω≥300π>942.

因為ω∈N*，所以最小正整數ω=943．

點評本題求解的關鍵是將圖形語言轉化為符號語言．其中讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑，能夠準確地讀圖，是解決三角函數圖像問題的基礎．

題型4正、余弦定理與三角函數性質的綜合正、余弦定理與三角恒等變換的綜合是2009年數學高考的一個主流，無論是大綱卷還是新課程卷都特別注重了這兩者的綜合，除了浙江省數學高考文、理試題第18題以外，還有北京市數學高考理科試題第15題,山東省數學高考文科試題第17題,全國數學高考文、理科試題Ⅱ第17題,安徽省數學高考文、理科試題第16題,江西省數學高考文、理科試題第19題等考題都關注了正、余弦定理與三角恒等變換的綜合．

(1)求函數f(x)的最大值和最小正周期；

(2009年山東省數學高考理科試題)

解(1)因為

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

點評從本題的解決過程中可以看出，兩次用到了兩角和與差的三角函數公式，其次還考查了二倍角公式、誘導公式、周期性、有界性等知識點．對兩角和與差三角函數公式的考查，基本出現在大題中，這是2009年數學高考的一個共同點.

(1)求角C；

(2009年江西省數學高考文科試題)

于是

則

解得

點評在本題第(1)小題的解決過程中,用正弦定理將邊化成角之后，必須進行恒等變形，用兩角和與差的三角函數公式與同角關系式化為關于角C的方程，從而解出角C．這就是正、余弦定理與三角恒等變換的綜合．第(2)小題涉及到方程思想與恒等變換思想，其間也結合了正弦定理與恒等變換的綜合．

精題集粹

( )

A．最小正周期為π的奇函數

B．最小正周期為π的偶函數

( )

A．函數f(x)的最小正周期為2π

C．函數f(x)的圖像關于直線x=0對稱

D．函數f(x)是奇函數

( )

4．已知函數y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的圖像如圖3所示，則φ=________.

圖3

(1)求A+B的值；

(1)求ω的最小正周期;

參考答案

又由

得

從而 cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB=

即

解得

b=1,

因此

6．解(1)因為

f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx=

sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx=

sin2ωx+cos2ωx+2=

(2)依題意得

故y=g(x)的單調增區間為