2010年數學高考模擬卷(六)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是符合題目要求的.

1．定義集合A*B={x|x∈A,且x?B}.若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，則A*B=

( )

A．{1,3} B．{1,5} C．{1,7} D．{2,3}

圖1

2．設隨機變量ζ服從正態分布N(2,9),若P(ζ>c+1)=P(ζ

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3．圖1為一個求20個數的平均數的程序,在橫線上應填充的語句為

( )

A．i>20 B．i<20 C．i>=20 D．i<=20

( )

圖2

5.圖2是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是

( )

A．9π B．10π C．11π D．12π

6.若f(x)是R上的減函數,且f(0)=3,f(3)=-1.設P={x|-1

( )

A.t≤0B.t≥0C.t≤-3D.t≥-3

圖3

7．如圖3，用一根鐵絲折成一個扇形框架，要求框架所圍扇形面積為定值S，則使用鐵絲長度最小值為

( )

( )

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判定其形狀

9.銀行一年定期的年利率為r，3年定期的年利率為q，銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存3年定期的存款，那么q與r的關系是

( )

( )

A．1 012 B．1 286 C．2 009 D．2 010

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.

12.某高三學生希望報名參加某6所高校中的3所學校的自主招生考試.由于其中2所學校的考試時間相同，因此該學生不能同時報考這2所學校．該學生不同的報考方法種數是________(用數字作答).

13．等差數列{an}的前n項和為Sn，S9=-36，S13=-104.在等比數列{bn}中，b5=a5,b7=a7,則b21的值為________．

圖4

圖5

三．解答題：本大題共5小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(1)求f(x)的單調遞增區間；

(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c,滿足(2a-c)cosB=bcosC，求函數f(A)的取值范圍.

圖6

(1)現從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得函數是偶函數的概率；

(2)現從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有奇函數卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ζ的分布列和數學期望．

(1)求證：平面COD⊥平面AOB；

(2)求CD與平面AOB所成角中最大角的正切值．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)求△AkF1F2的面積；

(1)設g(x)=x2·f′(x)(x>0),試判斷f(x)在區間(0,+∞)上的單調性；

(2)若存在唯一實數a∈(m,m+1),使得g(a)=0成立，求正整數m的值；

(3)當x>0時，f(x)>n恒成立，求正整數n的最大值.

參考答案

1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D

8.C 9.A 10.C

18．解(1)因為

(2)由(2a-c)cosB=bcosC,得

2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,

因此

2sinAcosB=sin(B+C)=sinA.

所以

19．解(1)設事件A為“任取2張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是偶函數”，則

(2)ζ可取1，2，3，4．

故ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

由表1可得

20．解(1)由題意得,CO⊥AO，BO⊥AO，則∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.因為二面角B-AO-C是直二面角，所以CO⊥BO.由AO∩BO=O，得CO⊥平面AOB.又CO?平面COD,于是平面COD⊥平面AOB．

(2)由第(1)小題知，CO⊥平面AOB，于是∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且

當OD最小時，∠CDO最大，這時，OD⊥AB，垂足為D，因此

21．解(1)設橢圓C1的半焦距為c，則

解得

于是

b2=a2-c2=36-27=9,

(2)點Ak的坐標為(-k,2)，則

(1)

由點P在橢圓C上得

代入式(1)并化簡得

9y2=112,

因此點M的軌跡方程為

軌跡是2條平行于x軸的線段.

22.(1)證明由

得

g(x)=x-1-ln(x+1)(x>0),

則

因此g(x)在(0,+∞)內單調遞增.

(2)解因為g(2)=1-ln3<0，

g(3)=2(1-ln2)>0,

所以由第(1)小題得,g(x)在(0,+∞)內單調遞增，即g(x)=0存在唯一的根a∈(2,3),于是m=2.

(3)解由f(x)>n得,na時，g(x)>0,f′(x)>0.因此當x=a時,f(x)取得最小值

由g(a)=0,得

a-1-ln(a+1)=0,

即

1+ln(a+1)=a,

于是

f(a)=a+1.

又由a∈(2,3),得

f(a)∈(3,4),

從而n≤3,故正整數n的最大值為3.