不等式恒成立問題分析與展望

● (西湖高級中學 浙江杭州 310002) ● (學軍中學 浙江杭州 310012)

恒成立問題，因為其設問靈活，能夠在考查思維的靈活性、創造性能力方面起到獨特的作用，也有利于考查學生的綜合解題能力，因此成了高考命題的一個熱點.自2005年以來，盡管浙江省數學高考試題中的“恒成立問題”僅出了3道，但其特色明顯、含義深刻.從題型上看，有選擇題、填空題和壓軸題;從數學思想方法來看，幾乎囊括了函數與方程、化歸與轉化、數形結合以及分類討論等.本文擬對不等式恒成立問題的一般題型和解題方法進行分析，并對未來可能出現的“恒成立問題”作出展望.

1 一般題型和解題方法分析

下面通過具體的例題全面介紹“不等式恒成立”問題的一般題型和解題方法.

例1已知對任意θ都有cos2θ-2msinθ-2m-2恒小于0，求m的取值范圍.

解法1(函數最值分析法)設

y=cos2θ-2msinθ-2m-2=

-(sinθ+m)2+m2-2m-1.

因為-1≤sinθ≤1,所以考查函數的最小值:

(1)當-1≤m≤1時,得sinθ=-m，y的最大值為m2-2m-1.由m2-2m-1<0,得

于是

(2)當m>1時,得sinθ=-1，y的最大值為-2<0恒成立.

所以

即

例2某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量應不超過多少輛？

略解設2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3…，每年新增汽車x萬輛.由題意得

原題可轉化為求當an≤60恒成立時x的取值范圍.于是解得

右端是關于n的減函數.當n→+∞時，它趨于3.6，故要對一切自然數n滿足an≤60，應有x≤3.6,即每年新增汽車應不超過3.6萬輛.

例3設不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立,求x的取值范圍.

說明求解本題的關鍵是變換角度，以參數m作為自變量構造函數式，不等式問題變成函數在閉區間上的值域問題.本題有別于關于x的不等式2x-1>m(x2-1)的解集是[-2,2]時求m的值、關于x的不等式2x-1>m(x2-1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍.

一般地，在一個含有多個變量的數學問題中，確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題更明朗化.或者在含有參數的函數中，將函數自變量作為參數，而參數作為函數，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關問題.

2 不等式恒成立問題熱點命題展望

(1)數列與不等式結合是構造恒成立問題的熱點.

f(n+1)-f(n)=

因此

f(n+1)>f(n).

解得

(2)含參數二次函數(三次函數的導數)在某一區間上恒成立問題或零點存在問題也是熱點.

例5已知函數f(x)=x2+ax+3-a，在R上f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解Δ=a2-4(3-a)=a2+4a-12≤0,

解得

-6≤a≤2.

變式1若當x∈[-2,2]時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析要使x∈[-2,2]，f(x)≥0恒成立，只需f(x)的最小值g(a)≥0即可,解得

-7≤a≤2.

變式2若當x∈[-2,2]時，f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

分析要證明f(x)≥2在[-2,2]上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數在區間[-2,2]時恒大于等于0的問題.

解令g(x)=x2+ax+3-a-2≥0，

則原題可轉化為求g(x)=x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立的a的取值范圍.

方法1(1)當Δ=a2-4(1-a)≤0時,解得

(2)當Δ=a2-4(1-a)>0時,得方程組

解得

方法2(運用根的分布)

g(a)=f(-2)=7-3a≥2,

解得

因此a不存在.

解得

因此

g(a)=f(2)=7+a≥2,

解得a≥-5,因此

-5≤a<-4.

(3)把不等式進行合理的變形后，利用數形結合思想解題仍然是熱點,這種方法對于選擇題、填空題顯得更靈活、快捷.

精題集粹

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

(2005年湖北省數學高考試題)

2.對于滿足|a|≤2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍______.

4．已知數列{an}的通項為an,前n項和為Sn，且an是Sn與2的等差中項，數列{bn}中,b1=1，點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式an,bn;

5．若函數

的定義域為R，求實數a的取值范圍.

參考答案

1.B

2.(-∞,-1)∪(3,+∞) 3.-1≤a≤0

4.略解(1)an=2n,bn=2n-1.

(2)Bn=1+3+5+…+(2n-1)=n2，

故

(1)

(2)

式(1)-式(2)得

即

又

所以滿足條件Tn

解得a=1.

(2)當a2-1≠0，即

時，有

解得

1

綜上所述，f(x)的定義域為R時，a∈[1,9].